Faculté des Sciences de Luminy
DEUG 1ère année MASS MF-ECO / SM

Février 2000
Correction

1.

On utilise les formules d'Euler :

$$e^{i\vartheta}=\cos\vartheta+i\sin\vartheta\quad \cos\varthe... ...\textstyle e^{i\vartheta}-e^{-i\vartheta}}\over{\textstyle 2i}}$$

$\parbox{\textwidth}{ \begin{eqnarray*} a+ib & = & \cos x+\cos 3x+\cos... ...{3ix}+e^{5ix}+e^{7ix}\\ & = & e^{ix}(1+e^{2ix}+e^{4ix}+e^{6ix})\end{eqnarray*}}$

et on applique l'identité $1+z+\dots+z^n={{\textstyle 1-z^{n+1}}\over{\textstyle 1-z}}$ pour z=e^2ix :

$\parbox{\textwidth}{ \begin{eqnarray*} a+ib & = & e^{ix}{{\textstyle ... ...le 2\sin x}}+i{{\textstyle 1-\cos 8x}\over{\textstyle 2\sin x}}\end{eqnarray*}}$

On a :

$$\cos x\cos 2x\cos 4x={{\textstyle 1}\over{\textstyle 8}}(e^{ix}+e^{-ix}) (e^{2ix}+e^{-2ix})(e^{4ix}+e^{-4ix})$$

et, en développant cette expression, on obtient :

$\parbox{\textwidth}{ \begin{eqnarray*} \cos x\cos 2x\cos 4x &=& {{\te... ...cos 5x+\cos 7x)={{\textstyle \sin 8x}\over{\textstyle 8\sin x}}\end{eqnarray*}}$

En particulier :

$\cos \frac{\pi}{7}\cos 2\frac{\pi}{7}\cos 4\frac{\pi}{7} ={{\textstyle \sin \fr... ...{7}}\over{\textstyle 8\sin \frac{\pi}{7}}}=-{{\textstyle 1}\over{\textstyle 8}}$

La formule demandée a été vérifiée pour p=2, on la démontre par récurrence pour p>2.

On la suppose vraie pour p, on a alors :

$$\cos x\cos 2x\dots\cos 2^px\cos 2^{p+1}x ={{\textstyle \sin ... ...}} ={{\textstyle \sin 2^{p+2}x}\over{\textstyle 2^{p+2}\sin x}}$$

2.

On remarque que f est impaire : f(-x)=-f(x), on ne l'étudie donc que sur $[0,+\infty[$.

On utilise la dérivée : $(\ln \vert u\vert)^\prime={{\textstyle u^\prime}\over{\textstyle u}}$

$$\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^\prime={{\textstyle 2}\over{\textstyle (1-x)^2}}$$

$$\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert^\prime={{\textstyle ... ...-x)^2}} \frac{1-x}{1+x}={{\textstyle 2}\over{\textstyle 1-x^2}}$$

On en déduit :

$$f^\prime(x)=2x\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert +(x^2-... ...{\textstyle 1-x^2}}=2x\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert-2$$

$f^\prime(x)$ est définie pour $x\ne 1,-1$ et pour $x\rightarrow 1$ ou -1 on a $f^\prime(x)\rightarrow\infty$.

$$f^{\prime\prime}(x)=2\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert +{{\textstyle 4x}\over{\textstyle 1-x^2}}$$

$$f^{\prime\prime\prime}(x)={{\textstyle 4}\over{\textstyle 1-... ...tstyle (1-x^2)^2}} ={{\textstyle 8}\over{\textstyle (1-x^2)^2}}$$

On a donc $f^{\prime\prime\prime}(x)\gt$ pour $x\ne 1,-1$ et on en déduit les variations de $f^{\prime\prime}$, $f^{\prime}$ et f, compte-tenu des signes au voisinage de 1 et -1 :

$x\rightarrow 1_-$ : $f^{\prime\prime}\rightarrow+\infty$, $f^{\prime}\rightarrow+\infty$      $x\rightarrow 1_+$ : $f^{\prime\prime}\rightarrow-\infty$, $f^{\prime}\rightarrow+\infty$

$f^{\prime}(0)=-2$, $f^{\prime}$ croissante sur ]0,1[, $f^{\prime}\rightarrow+\infty$ pour 1_- : $f^{\prime}$ a une seule racine $\alpha\in ]0,1[$.

$$\begin{array} {\vert c\vert lcccrclcr\vert} \hline x & 0 & &... ...w & & \nearrow & & 0 & & \nearrow & +\infty\\ \hline\end{array}$$

Etude pour $x\rightarrow+\infty$

On pose $v={{\textstyle 1}\over{\textstyle x}}\rightarrow 0$

$$\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert =\left\vert\frac{1+\fra... ... =(1+v)(1+v+v^2+v^2\varepsilon(v)) =1+2v+2v^2+v^2\varepsilon(v)$$

$$\ln(1+2v+2v^2+v^2\varepsilon(v) =2v+2v^2-\frac{1}{2}(2v+2v^2)^2+v^2\varepsilon(v) =2v+v^2\varepsilon(v)$$

$$f(x)=(x^2-1)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} \varepsilon\left... ...ght)\right) =2x-\frac{2}{x}+\varepsilon\left(\frac{1}{x}\right)$$

Donc la droite $\cal D$ : y=2x est asymptote et la courbe est au-dessous de $\cal D$.

x=0 est un point d'inflexion car $f^{\prime\prime}(0)=0$ et x=1 est également point d'inflexion à tangente verticale donc $\cal C$ a 3 points d'inflexion : -1,0,1.