Problème de scrutin

samedi 27 septembre 2008
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Ce problème (dit de scrutin) relie le calcul des probabilités et l’analyse combinatoire. Une urne contient c bulletins au nom de A et c bulletins au nom de B, soit 2c bulletins.

On se propose d’estimer la probabilité, qu’au cours d’un dépouillement, le nombre de bulletins au nom de A soit toujours strictement supérieur au nombre de bulletins au nom de B (sauf au début et à la fin).

On peut représenter un dépouillement par un chemin allant de P à Q sur un carré de côté c, un trait horizontal de longueur 1 représentant un bulletin A et un trait vertical de longueur 1 représentant un bulletin B.

On montre que tous les dépouillements possibles (il y en a C^ c[2c] ) sont équiprobables. (attention : &agrave un ’carrefour’ donné, il n’y a pas nécessairement équiprobabilité de tirage ! cf. probabilités conditionnelles). On comparera avec profit ce problème avec celui du cheminement sur un carré où, à chaque ’carrefour’, on a équiprobabilité de tirage (voir le problème du cheminement sur un quadrillage).

On appellera ’bon’ dépouillement un dépouillement répondant à l’événement dont on veut estimer la probabilité ; sinon le dépouillement sera dit ’mauvais’. On observe la fréquence de ’bons’ dépouillements par rapport à la probabilité théorique donnée par la formule p = 1 / 2(2c-1).

On peut obtenir également un intervalle de confiance à 95%.

Niveau : Terminale - Supérieur

Logiciel : GeoplanW (version 2)


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