Pierre Verges : Exposé du 6 novembre 2000

samedi 20 décembre 2008
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 Nous ne traiterons pas des Sciences Economiques car elles feront l’objet d’une prochaine réunion. Ce sont elles qui ont le plus développé l’usage des mathématiques.

 La psychologie est la discipline où l’apport des mathématiques est le plus important. On y trouve en effet une réflexion sur la "mesure", l’existence de modèles et l’articulation mathématiques-statistiques autour des tests et de l’analyse de variance.

 La théorie de la mesure a été fortement développée car la démarche expérimentale fait grand cas des mesures. On distingue différents types de mesure :

- binaire (0/1)
- échelle (entier de n à m : ex : -3 a +3) ne supposant pas l’équidistance entre les échelons mais simplement la relation d’ordre.
- métrique (la métrique Euclidienne étant un cas particulier du r de Minkowsky)
- les relations d’ordre acceptant les incomparables (treillis).

 La phase empirique des recherches a pour vocation de vérifier la validité de la représentation numérique choisie (ici référence a une validation statistique).  Les modèles font appel à divers domaines mathématiques :

- la théorie des graphes pour l’étude des relations, des équilibres structuraux dans un groupe...
- les treillis permettent de définir des échelles ou des tresses de Guttman
- l’analyse booléenne des questionnaires
- le permutoèdre dans l’étude des classements
- la théorie des jeux pour l’étude des décisions avec le célèbre dilemme du prisonnier
- les processus séquentiels (chaîne de Markov) pour l’étude de l’apprentissage et dans certaines études de psycholinguistiques.
- la théorie de l’information dans l’étude des communications.

 Dans la validation des expériences l’Analyse de variances est de rigueur, elle associe la description matricielle des comparaisons et le test F de Snédecor.    En sociologie on ne trouve pas un bilan aussi riche.

- On utilise pour partie des méthodes importées des psychologues : théorie des graphes pour décrire des similitudes entre variables ou sujets ; Treillis pour analyser les questionnaires pouvant présenter des réponses en échelles, permutoèdre pour l’analyse des classements.
- l’Analyse factorielle de correspondance a un statut particulier de méthode d’analyse passe partout. Elle suppose l’espace vectoriel et la diagonalisation des matrices.
- De nouveaux modèles d’analyse font appel à une transformation logarithmique (Logit et Probit) pour traiter des variables nominales.
- Seules les recherches sur les réseaux sociaux font appel à des modèles mathématiques (graphes et hypergraphes, treillis de Galois, équivalence structurale et régulière) et à des calculs de centralité.

 On notera que les livres de méthode en sociologie ne parlent pas des mathématiques. Le dernier livre présentant des mathématiques en sociologie date de 1971 (R. Boudon, PUF).    Dans les autres sciences sociales (autres qu’économiques) la moisson est maigre. En linguistique Chomsky a développé une analyse "transformationnelle" décrivant les phrases par des arborescences. Les machine de Turing ont aussi été utilisées dans les automates de reconnaissance. En ethnologie l’analyse de la parenté dans les tribus du "monde premier" par Levy Straus a utilisé les transformations des monoïdes. En géographie le modèle "gravitaire" est de règle dans l’étude des déplacements ou des agglomérations.

 La constance de tous ces emprunts aux mathématiques est leur apparition (leur vogue) dans les années 60-75 et leur quasi oubli ensuite. Les livres de références datent de cette période. L’EPRAS fut une école de formation disparue depuis.

- Psychologie mathématiques, Coombs, Dawes, Tversky, PUF, 1975.
- Les mathématiques en sociologie, Boudon R,. PUF, 1971.
- Mathématiques et Sciences humaines, Barbut M., PUF, 1967.
- Technique ordinale, Frey L., (t1), Degenne A. (t2), Hachette 1972.
- Automate et langage formel, Lentin A., hachette, 1975.

 On a l’impression que l’usage des modèles pouvant être invalidés par les données a presque complètement disparu au profit de "l’analyse de données" ou l’on recherche seulement une information résumant les données. Seuls les psychologues expérimentalistes se donnent des critères de validation d’hypothèses a priori.

 Le tour d’horizon serait incomplet si on ignorait deux récents apports des mathématiques : le modèle fractal et le modèle neuronal :

- la démographie (avec Le Bras H. essais de géométrie sociale, Odile Jacob, 2000) expérimente la validation du modèle fractal appliqué aux densités de peuplement et aux mobilités sociales par le mariage. Les figures obtenues sont proches de la réalité si on introduit quelques paramètres supplémentaires. Ce modèle a plusieurs intérêts, en particulier celui d’éviter les frontières tout en maintenant la diversité.
- partant d’une définition de niveaux d’organisation cérébrale et de réseaux traitant les transitions entre niveaux ce modèle conduit à des programmes de classification, de reconnaissance de formes, à une interprétation du mode de traitement des informations.

Discussion à propos de l’intervention de Pierre Vergès :

Les questions posées peuvent être classées en trois catégories :

- D’une part des demandes d’éclaircissements à propos de l’histoire récente des « mathématiques en sciences humaines », quelles évolutions sont repérables depuis une trentaine d’années.
- Une deuxième série de questions relève de l’épistémologie : par exemple, pour quelles raisons les sciences humaines (hormis l’économie) n’ont-elles pas intégré des raisonnements mathématiques dans certaines approches ? Les mathématiques demeureraient une contribution extérieure, instrumentale en quelque sorte.
- D’autres questions ont porté sur des points précis à illustrer sous forme d’exemples développés : notion de centralité, éclaircissements sur des outils informatiques récents (analyse multiagent etc...) Un des objectifs du séminaire cette année pourrait être d’essayer de répondre à ces questions en essayant de n’en privilégier aucune au détriment des autres.