Michèle Artaud : à propos du rapport aux mathématiques en économie 22 janvier 2001

lundi 2 février 2009
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M.Artaud [1]

Michèle Artaud : à propos du rapport aux mathématiques en économie 22 janvier 2001

Michèle Artaud : à propos du rapport aux mathématiques en économie 22 janvier 2001

Michèle Artaud : à propos du rapport aux mathématiques en économie 22 janvier 2001

Michèle Artaud : à propos du rapport aux mathématiques en économie 22 janvier 2001

Michèle Artaud : à propos du rapport aux mathématiques en économie 22 janvier 2001

La présentation d’un exemple de question économique issue de la microéconomie et de son traitement permettra d’illustrer le rapport aux mathématiques qui prévaut en économie, rapport dont les principales caractéristiques seront ensuite développées. On montrera pour terminer comment ces développements permettent d’éclairer le débat actuel sur l’enseignement de l’économie.

1- Économie, microéconomie, macroéconomie

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« L’économie étudie la façon dont les individus ou les sociétés utilisent les ressources rares en vue de satisfaire au mieux leurs besoins. Cette définition met en avant deux aspects fondamentaux :
- 1. L’économie constitue une façon particulière de considérer les comportements humains : les individus ou les groupes d’individus agissent parce qu’ils ont des besoins à satisfaire et que cela ne va pas de soi dans un univers où les moyens disponibles sont limités.
- 2. L’analyse est à la fois microéconomique (étude des comportements individuels et macroéconomique (étude des phénomènes de sociétés). (…) La définition présentée ci-dessus permet en outre de comprendre le point de départ de la plupart des théories économiques. Face à un problème quelconque, l’économiste commence presque toujours par se demander :
- 1°) Qui sont les décideurs – les individus ou les groupes d’individus qui font les choix déterminants ?
- 2°) Quels sont les objectifs des décideurs (leurs « besoins ») ?
- 3°) Quels sont les moyens disponibles et les contraintes (« les ressources rares ») ?
- 4°) Quelle est la solution optimale, c’est-à-dire celle qui permet d’atteindre le maximum de satisfaction pour le minimum de ressources utilisées ? »

A cette définition de l’économie donnée par Jacques Généreux dans son Introduction à l’économie (Généreux 2001, p. 9), nous rajouterons que la théorie microéconomique identifie schématiquement deux types de décideur : le consommateur et le producteur et s’intéresse à leurs comportements, tandis que la macroéconomie adopte un point de vue plus global, en raisonnant sur ce que l’on appelle des agrégats, comme l’investissement, l’épargne, le chômage, etc. Nous allons nous intéresser ici à une question issue de la microéconomie, le comportement du producteur, dont nous présenterons le début de l’étude de manière à avoir une idée du genre de modèles manipulés par les économistes et de la manière dont ils sont construits. Pour garder une neutralité studieuse, en détaillant les hypothèses faites et les éléments de justifications apportés par les économistes mais sans en discuter le bien-fondé ni la pertinence, nous présenterons cette étude sous la forme d’un dialogue entre un économiste, Paul, et un agriculteur céréalier, Martin.

2- Un exemple : le problème du producteur ou « comment et combien produire ? »

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Paul : Bonjour Martin ! Comment vas-tu ?

Martin : ça va, Paul, merci. Et toi ?

Paul : ça va bien aussi. Qu’est-ce qui me vaut le plaisir de ta visite ?

Martin : Tu sais que dans mon exploitation, je produis du blé. Les temps sont durs, et il faudrait que je sois sûr que, avec ma production de blé, je fasse le plus grand bénéfice possible. Je me suis dit que, comme tu es économiste, tu pourrais peut-être m’aider.

Paul : Oui, je dois pouvoir t’aider à prendre une décision qui maximise ton profit. Viens, asseyons-nous. D’abord, il faut que tu me dises : le blé, tu utilises quoi pour le produire ?

Martin : Eh bien, j’ai un tracteur, et je mets de l’engrais sur les parcelles.

Paul : Bon, et toi tu travailles sur ces parcelles, je suppose ; tu as un ouvrier ?

Martin : Non, sur la production de blé, il n’y a que moi qui travaille.

Paul : Ton tracteur, tu dirais qu’il fournit combien d’heures de travail ?

Martin : Je ne comprends pas ce que tu me demandes, là.

Paul : Oui, si tu n’avais pas de tracteur, tu travaillerais combien d’heures en plus ?

Martin : Attends, que je réfléchisse… Il faudrait que j’embauche quelqu’un pour le tiers de l’année à peu près, ce qui ferait en gros mille heures de travail.

Paul : Bon, d’accord. Alors, on va supposer que la quantité de blé que tu produis, elle est donnée par la fonction q = (x_1 + 1000)^{1/2}x_2^{1/2}, où x_1 est la quantité de travail que tu fournis et x_2 la quantité d’engrais que tu emploies.

Martin : Mais d’où tu la sors, cette fonction ?

Paul : Oui, c’est vrai, ça a un peu l’air du lapin que l’illusionniste sort du chapeau… En fait, ta question, je peux la reformuler en deux questions : comment produire le blé ? – il faut que tu choisisses la méthode de production, c’est à dire le nombre d’heures de travail et la quantité d’engrais– et combien produire de blé ? – il faut que tu détermines le volume de la production. Pour répondre à ces questions, il est nécessaire de connaître les caractéristiques et les possibilités techniques de production. Celles-ci sont modélisées par la fonction de production, qui donne la quantité produite d’un bien en fonction des différents facteurs nécessaires à sa production dans des conditions optimales d’utilisation des facteurs (hypothèse nécessaire à la bonne définition de la fonction) : q = f(x_1, x_2,\dots, x_n).

Martin : Oui, bon, je vois que moi, je n’ai que deux facteurs, le travail et l’engrais, c’est ça ?

Paul : Tout à fait, Martin.

Martin : Mais ça ne m’explique pas pourquoi f c’est (x_1 + 1000)^{1/2}x_2^{1/2}

Paul : En fait, une forme classique de fonction de production à deux facteurs K le capital et L le travail est : f(K, L) = AK^\alpha L^\beta : on l’appelle la fonction de Cobb-Douglas. Bon, là, j’ai pris A = 1, \alpha=\beta=1/2 un peu au hasard, mais quand tu auras vu comment ça marche, on ajustera les paramètres en fonction des données des années antérieures.

Martin : OK, Paul. J’ai compris.

Paul : Alors maintenant, on va supposer qu’il y a divisibilité parfaite de chacun des facteurs de production, c’est-à-dire qu’on peut les obtenir et les utiliser en unités aussi petites que l’on veut.

Martin : Oui, ça, je vois bien que ça marche à peu près avec le travail et l’engrais. Mais si je produisais du lait, les vaches, je ne pourrais pas les diviser…

Paul : Bien sûr. Mais c’est une condition essentielle pour que l’on puisse parler de continuité et de dérivabilité de la fonction de production.

Martin : Ah ! je me rappelle, en BTS, on ne travaillait qu’avec des fonctions dérivables.

Paul : Oui, ça rend les choses plus faciles. Justement, on va définir la productivité marginale d’un facteur comme le supplément de production découlant de l’utilisation d’une unité supplémentaire de ce facteur, les autres facteurs restant constants. Mathématiquement, on a donc : P_m(x_i) = [f(x_1,\dots, x_i + \delta x_i,\dots, x_n)-f(x_1,\dots, x_i,\dots, x_n)]/\delta x_i , \delta x_i représentant l’unité supplémentaire de facteur x_i utilisée. L’hypothèse de divisibilité des facteurs permet de rendre \delta x_i « aussi petit que l’on veut », et on peut alors approximer P_m(x_i) par la dérivée partielle par rapport à x_i de la fonction de production, \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\dots,x_n).

Martin : Bon, alors, pour moi, ça va faire quoi ?

Paul : On a \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2) = 1/2 (x_1 + 1000)^{-1/2} x_2^{1/2} et \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, x_2) = 1/2(x_1 + 1000)^{1/2} x_2^{-1/2}.

Martin : Et elles me servent à quoi ces nouvelles fonctions ?

Paul : ça te permet de savoir combien tu vas obtenir de supplément de production si tu bouges un peu l’un des facteurs de production. Par exemple, supposons que tu utilises une tonne d’engrais et 1500 heures de travail pour produire une certaine quantité de blé. \frac{\partial f}{\partial x_1}(1500, 1000) va te donner le supplément de production que tu obtiens si tu travailles une heure de plus.

Martin : Ah, d’accord. Et \frac{\partial f}{\partial x_2}(1500, 1000) c’est le supplément de production si j’utilise un kilo d’engrais de plus.

Paul : Voilà. On va maintenant supposer que, quand on augmente la quantité d’un facteur, les autres restant constants, la production augmente, mais qu’elle s’accroît de moins en moins : c’est-à-dire que si tu augmentes la quantité de travail fournie, la production de blé augmente, mais l’augmentation forte au début va diminuer.

Martin : Parce que je serais fatigué donc moins efficace. Et puis, il y a un moment où j’aurais beau travailler plus, ça ne changera rien.

Paul : Oui, c’est ça. La fonction de production est donc croissante en chacun des facteurs et la dérivée partielle seconde de la fonction de production en chacun des facteurs – on suppose qu’elle existe – est négative : on dit que les productivités marginales sont positives et décroissantes. On va maintenant considérer les isoquantes, soit les ensembles des combinaisons des facteurs de production permettant d’obtenir un niveau de production constant : f(x_1, x_2) = cte. On va représenter trois isoquantes de ta fonction de production q = (x_1 + 1000)^{1/2}x_2^{1/2} :

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Tu remarques que, ici, les isoquantes ont une forme algébrique explicite (ce qui n’est, bien entendu, pas toujours le cas) : q, x1 et x2 étant positifs, on a en effet

q = (x_1 + 1000)^{1/2}x_2^{1/2}\Leftrightarrow q^2 = (x_1 + 1000) x_2 \Leftrightarrow x_2 = \frac{q^2}{x_1+1000}

.

Martin : Oui, enfin, tu ne me l’aurais pas dit… En revanche, je vois que, lorsque une courbe est au-dessous d’une autre, elle correspond à un volume de production plus faible. C’est toujours vrai ?

Paul : Oui, on dit que les isoquantes sont rangées dans le sens des niveaux de productions croissants. Bon, on va supposer que l’on peut remplacer une quantité d’un facteur par une quantité de l’autre facteur de façon à ce que la production reste identique.

Martin : Euh… ça ne marche pas vraiment ça : je ne peux pas remplacer beaucoup de travail par de l’engrais.

Paul : D’accord, mais ce qu’on fait là, c’est un modèle, donc on va supposer qu’on est dans cette situation même si ce n’est pas tout à fait le cas ; on en a besoin pour pouvoir parler de taux marginal de substitution, et c’est un élément qui nous sera utile pour avancer.

Martin : Bon, supposons…

Paul : Bien. Donc on va introduire le taux marginal de substitution entre x_2 et x_1, TMS_{x_1/x_2}, qui mesure la quantité de facteur x_2 nécessaire pour compenser la perte de production consécutive à la diminution d’une unité dans l’utilisation de l’autre facteur x_1. Pour toi, ça représente la quantité d’engrais que tu dois ajouter lorsque ton travail diminue d’une unité pour que ta production de blé reste constante. On a alors TMS_{x_1/x_2}=-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}.

Martin : Moins ? Pourquoi moins ?

Paul : ça vient du fait que \Delta x_1 représente une diminution…

Martin : Donc c’est négatif !

Paul : Voilà. En utilisant comme précédemment la divisibilité des facteurs, on peut rendre \Delta x_1 « aussi petit que l’on veut » et approximer TMS_{x_1/x_2}=-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} par –\frac{dx_2}{dx_1}. On peut donc assimiler le taux marginal de substitution à la pente de la tangente à l’isoquante correspondant à la production considérée.

Martin : Ah ! D’accord… Je crois que je commence à voir le lien maintenant.

Paul : Tu as encore un lien supplémentaire : la différentielle d’une fonction constante étant nulle, il vient : df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 = 0, soit finalement –\frac{dx_2}{dx_1}=
\frac{\frac{\partial f}{\partial x_2}}
{\frac{\partial f}{\partial x_1}}. Le taux marginal de substitution est donc égal à l’inverse du rapport des productivités marginales, et nous allons pouvoir déduire de cela une propriété des isoquantes. Tu suis ?

Martin : à peu près…

Paul : Bien. On a supposé que les productivités marginales étaient positives : on a donc \frac{dx_2}{dx_1} négatif, soit que les isoquantes sont des courbes décroissantes, ce qui est bien le cas dans notre exemple. Elle sont également convexes, ce que nous justifierons plus loin. Pour effectuer ses choix, le producteur – toi, ici – dispose donc des informations techniques fournies par la fonction de production, et notamment les isoquantes. Il est également nécessaire qu’il dispose des prix des facteurs, p1 et p2, et du budget, B, dont il dispose, données qui sont considérées comme exogènes.

Martin : Oui, pour les prix des facteurs, c’est évident ; pour le budget… Je sais, tu vas me dire que c’est un modèle.

Paul : Oui, on se place au moment où la décision est prise et la détermination de B a déjà été effectuée. Bon, alors, tu cherches à maximiser ta production pour un coût donné, celui correspondant à ton budget B. Le prix d’une combinaison de facteurs (x1, x2) est p1x1 + p2x2. On doit donc avoir B = p1x1 + p2x2, et on cherche la combinaison de facteurs qui vérifie cette égalité et pour laquelle f(x1, x2) est maximum.

Martin : Oui, je vois…

Paul : On peut se ramener à un problème d’optimisation à une variable, puisque l’on a : x_2 = B/p_2 – x_1p_1/p_2 et q = f(x1, x2) = f(x1, B/p_2 – x_1p_1/p_2). La condition nécessaire d’existence d’un maximum est : \frac{dq}{dx_1}=0. Or : –\frac{dq}{dx_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}
+\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dx_1} et \frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{p_1}{p_2}. D’où il vient : \frac{\partial f}{\partial x_1}
-\frac{p_1}{p_2}\frac{\partial f}{\partial x_2}=0 soit \frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}
{\frac{\partial f}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}.

Martin : ah ! la condition qu’on obtient ne dépend pas du budget mais seulement du rapport du prix des facteurs.

Paul : Oui, et il suffit que \frac{d^2q}{dx_1^2}<0 pour que le point considéré soit un maximum. Cette condition impose que les isoquantes soient convexes pour que le problème du producteur ait une solution, mais je vais t’épargner le calcul.

Martin : C’est gentil ! Et pour moi, alors, ça donne quoi, concrètement, tout ça ?

Paul : On va supposer que le prix du travail est p1 = 1 et que le prix de l’engrais est p2 = 2, le budget dont tu disposes étant B. On a

\frac{\partial f}{\partial x_1}= 1/2 (x_1 + 1000)^{-1/2} x_2^{1/2} et \frac{\partial f}{\partial x_2}= 1/2(x_1 + 1000)^{1/2} x_2^{-1/2}. D’où

\frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}
{\frac{\partial f}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}
\Leftrightarrow x_2/(x_1+1000) = 1/2 \Leftrightarrow x_2 =1/2 x_1 + 500

.

La contrainte de budget permet alors de trouver la combinaison de travail et d’engrais pouvant donner la production maximum : B = x_1 + 2 x_2 = x1 + x1 + 1000 \Leftrightarrow x_1 = (B – 1000)/2 et donc x_2 = 1/4 B +250. Si l’on suppose que B = 200000, il vient x1 = 99500 et x2 = 50250. Pour que le point déterminé soit un maximum, il faut de plus que, en ce point, \frac{d^2q}{dx_1^2}<0. Or q = (x_1 + 1000)^{1/2} [(B – x_1)/2]^{1/2}.

D’où

\frac{d^2q}{dx_1^2}
=-\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{x_1+1000}\sqrt{B-x_1}}
-\frac{\sqrt{2}(B+1000}{8\sqrt{x_1+1000}(B-x_1)^{3/2}}
-\frac{\sqrt{2(B-x_1)}}{8(x_1+1000)^{3/2}}

qui est bien négatif… La production maximale sera donc q_{max} = \sqrt{2}50 250 = 71 064

Martin (un peu assommé) : Oui… Tous ces calculs… Il n’y aurait pas plus simple ?

Paul : Comme la fonction de production est une fonction de deux variables, tu peux également traiter la question par une technique graphique. La contrainte de budget B = x_1p_1 + x_2p_2 peut se représenter dans le plan (x1, x2) par une droite d’équation x_2 = B/p_2 – x_1p_1/p_2 (appelée droite de budget). Il s’agit alors de trouver un point M de coordonnées (a, b) appartenant à cette droite tel que la production q = f(a, b) soit maximum. Si l’on représente la fonction f par l’ensemble de ses isoquantes, on est alors conduit à déterminer M(a, b) appartenant à la droite de budget et à l’isoquante « la plus élevée », puisque nous avons dit précédemment que si l’isoquante q_0 = f(x_1, x_2) est au-dessus de l’isoquante q_0^\prime = f(x_1, x_2), alors q_0 > q_0^\prime.

Martin : Oui, on avait dit que les isoquantes sont rangées dans le sens des niveaux de productions croissants.

Paul : C’est ça. L’isoquante « la plus élevée » doit être tangente à la droite de budget : si en effet on considère une isoquante sécante mais non tangente à la droite de budget, il existe une isoquante « plus élevée » dont l’intersection avec la droite de budget sera non vide et donc une combinaison de facteurs qui réalise une production supérieure.

Martin : Oui, avec le graphique, je comprends ce que tu veux dire. Mais le point qu’on cherchait ?

Paul : Eh bien, le point cherché sera le point de tangence et en ce point on a la pente de la droite de budget –p1/p2 qui est égale à la pente de la tangente à la courbe : or nous avons vu que cette pente est l’opposé du taux marginal de substitution dont nous avons montré qu’il est égal à l’inverse du rapport des productivités marginales \frac{\frac{\partial f}{\partial x_2}}
{\frac{\partial f}{\partial x_1}}, soit finalement \frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}
{\frac{\partial f}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}.

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Martin : Ouh là ! Laisse moi voir… Oui, alors on retrouve la condition qu’on avait obtenue par le calcul.

Paul : C’est ça. Et on peut proposer une autre justification de la nécessité de convexité des isoquantes. Si en effet les isoquantes n’étaient pas convexes mais concaves (respectivement linéaires), la production maximum serait atteinte pour un point de l’axe des ordonnées(respectivement de l’axe des abscisses), signifiant que les entreprises n’utiliseraient qu’un facteur de production : ceci étant contraire aux comportements connus des producteurs, on exclut ce type de tracés.

Martin : Oui, évidemment, pour produire du blé, je ne vais pas utiliser que de l’engrais. Bon, donc là, j’ai obtenu la plus grande quantité de blé que je peux produire, et la façon dont je dois la produire. Mais ça ne me dit pas que je vais faire le meilleur profit.

Paul : Non, en effet. On va supposer que tu es libre de choisir le niveau de ta production et celui de tes ressources. Le prix du bien produit étant p, on a : \pi= pq – C avec q = f(x_1, x_2) et C = x_1p_1 + x_2 p_2 ; soit \pi= pf(x_1, x_2) – (x_1p_1 + x_2 p_2). Il s’agit de déterminer, quand il existe, le maximum de cette fonction.

Martin : Oui, d’accord. Et on calcule les dérivées premières, c’est ça ?

Paul : C’est ça. L’expression de la condition nécessaire du premier ordre est alors :\frac{\partial\pi}{\partial x_1}=\frac{\partial\pi}{\partial x_2}=0. Il vient par suite : p\frac{\partial f}{\partial x_1} – p_1 = 0 et p\frac{\partial f}{\partial x_2} – p_2 = 0, soit p_1=p\frac{\partial f}{\partial x_1} et p_2=p\frac{\partial f}{\partial x_2}. Pour que le producteur maximise son profit il faut donc que la productivité marginale en valeur de chaque facteur soit égale à son prix.

Martin : Ah ! là, on ne retrouve plus la même condition nécessaire.

Paul : Non, mais c’est un cas particulier des conditions de maximisation de la production sous contrainte puisque p_1=p\frac{\partial f}{\partial x_1} et p_2=p\frac{\partial f}{\partial x_2} implique que \frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}
{\frac{\partial f}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}.

Martin : Bon, et si je veux produire le moins cher possible ?

Paul : Tu vas obtenir la même condition que dans le cas où tu veux produire le plus possible compte tenu d’un budget fixé. Tu cherches à minimiser la fonction C = x_1p_1 + x_2 p_2 compte tenu de la contrainte q_0 = f(x_1, x_2). C’est une fonction de deux variables, donc on va former le Lagrangien L =  x_1p_1 + x_2p_2 –\mu(q_0 – f(x_1, x_2)), et on va exprimer le fait que les dérivées partielles de L par rapport à x_1, x_2,\mu sont nulles, et tu vas obtenir la même condition du premier ordre : le rapport des productions marginales doit être égal au rapport des prix des facteurs. On obtient également ici une interprétation économique du multiplicateur de Lagrange : \mu= dC/dq est le coût marginal ou encore le supplément de coût découlant dans des conditions de productions optimales de la production d’une unité supplémentaire de produit.

Martin : Le Lagrangien… Ce n’est pas ça qu’on avait utilisé tout à l’heure…

Paul : Non. Mais on aurait pu. Tu formes le Lagrangien du problème de maximisation sous contrainte : L = f(x_1, x_2) –\lambda(B – x_1p_1 – x_2p_2). Les conditions du premier ordre sont alors que les dérivées premières du Lagrangien par rapport à x_1, x_2,\lambda s’annulent, ce qui donne à nouveau bien entendu la condition obtenue précédemment. On obtient de plus que \lambda= dq/dB : le multiplicateur de Lagrange représente donc « le supplément de production résultant du desserrement de la contrainte budgétaire ».

Martin : Ah !

Paul : Et on a même une relation entre les deux multiplicateurs : \mu= 1/\lambda puisque \lambda= dq/dB et que les expressions de B et de C sont les mêmes.

Martin : Bon, je crois que j’ai compris l’essentiel…

Paul : Tu veux que j’explicite certains points ?

Martin : Non merci, Paul. Je vais prendre ces feuilles, si tu permets, et je vais reprendre ça à tête reposée, essayer de voir ce que je peux faire. En tous cas, je te remercie.

Paul : Je t’en prie. Si tu veux, tu m’apportes l’historique des données de ton exploitation et on déterminera une fonction qui modélise ta production.

Martin : D’accord. Merci encore Paul.

3- Rapport entre mathématiques et économie

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3.1-

Résumons rapidement le chemin parcouru par le modèle que Paul vient de présenter à Martin. Le point de départ est la question « Comment et combien un producteur doit-il produire ? », ce qui amène à examiner la question « Quelle quantité de bien doit produire un producteur dont la fonction de production est q = f(x1, x2), connaissant le prix p1 et p2 des deux facteurs x1 et x2 et le budget B du producteur ? ». Le type de tâches est ainsi « déterminer la quantité de bien q* que doit produire un producteur dont la fonction de production est q = f(x1, x2), connaissant le prix p1 et p2 des deux facteurs x1 et x2 et le budget B du producteur », et le modèle permet d’élaborer une technique de détermination de q* qui peut se décrire ainsi :

- 1. Déterminer x1* et x2* tels que q* = f(x_1*, x_2*) ;

1.1. écrire que, au point (x1*, x2*), le rapport des productivités marginales est égal au rapport p1/p2, ce qui permet d’obtenir une relation R1 entre x1* et x2* ;

1.2. résoudre le système formé de R1 et la contrainte de budget R2 : B = x_1*p_1 + x_2*p_2 ;1  [2]

- 2. Calculer q*.

La justification essentielle de cette technique repose sur la convexité des isoquantes et le théorème : la quantité à produire est obtenue par une combinaison de facteurs telle que le rapport des productivités marginales soit égal au rapport des prix des facteurs. Ce théorème a été produit en mettant en œuvre plusieurs techniques : deux techniques analytiques et une technique graphique. L’une d’entre elles, la première technique analytique, a consisté : – à écrire f(x1, x2) en fonction de x1 en tenant compte de la contrainte de budget : B = x1p1 + x2p2 ; – à calculer la dérivée de cette fonction par rapport à x_1 ; – à écrire que cette dérivée est nulle pour avoir un maximum, ce qui permet d’obtenir la relation cherchée : \frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}
{\frac{\partial f}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2} .

3.2-

La réponse apportée par la science économique à la question considérée se présente ainsi comme une organisation mathématico-économique, dans laquelle mathématiques et économie sont étroitement mêlées, et où les mathématiques apparaissent essentielles dans la strate de justification – c’est par exemple ici le théorème « une fonction numérique f continue et deux fois dérivable sur un intervalle I admet un maximum en x0 appartenant à I si et seulement si f’(x0) = 0 et f”(x0) < 0 » qui est l’ingrédient principal de la production de la condition de convexité des isoquantes et du théorème des productivités marginales –, sans cependant que l’on puisse les isoler des objets économiques – l’hypothèse de divisibilité des facteurs, ou celle d’utilisation optimale des facteurs, la notion de productivité marginale etc. sont également des éléments justificatifs primordiaux.

3.3-

Ce type de rapport entre mathématiques et économie, où les mathématiques sont à l’œuvre dans la production des réponses aux questions économiques n’est pas spécifique de ces deux savoirs. En effet, étant donné un savoir S, il existe ordinairement des savoirs S’, S”, etc., utilisés de fait pour produire ce savoir et/ou pour le mettre en œuvre (comme système de production de connaissances). Ainsi, « la biologie » pourra-t-elle entrer dans un tel rapport avec, par exemple, « la biochimie », « la biophysique », voire... « la biomathématique ». Nous dirons alors que, lorsqu’un savoir S entretient avec des savoirs S’, S”, etc., des relations du style évoqué plus haut, les savoirs S’, S”, etc. sont des savoirs fondamentaux pour S.

Notons ici que le caractère fondamental est un caractère fonctionnel, et non structurel, et qu’un savoir n’est pas intrinsèquement fondamental : il ne peut l’être que par rapport à un autre savoir. Enfin, et contrairement à ce que certaines connotations pourraient porter à penser, un savoir S’ fondamental pour un savoir S ne saurait à lui seul manifester son efficacité dans la « vie » de S : il apparaît à cet égard comme un outil (de production ou d’utilisation de S), dont seul S fournit le « mode d’emploi » pertinent – même si, comme il en va avec tout outil, S’ impose des contraintes spécifiques à son utilisateur ainsi que nous l’avons vu dans l’exemple traité plus haut avec par exemple l’hypothèse de divisibilité des facteurs.

3.4-

Les observations précédentes suggèrent le caractère de subtile dialectique que prennent nécessairement les relations entre deux savoirs dont l’un est fondamental pour l’autre. Elles suggèrent également par là même la difficulté du bon « réglage » de ces interrelations et, corrélativement, la possibilité que s’établissent des interrelations « pathologiques » ou, du moins, « pathogènes ». A cet égard, la pathologie la plus systématiquement présente affecte la capacité de la communauté productrice du savoir S (l’économie ici) à reconnaître et à assumer le caractère fondamental du savoir S’ (les mathématiques en l’espèce) dans la production et l’utilisation de S – autrement dit, les économistes ne vont pas assumer que la production d’économie nécessite des mathématiques. Pour ce qui est des mathématiques et de l’économie, cette pathologie s’exprime sous la forme d’un débat sur la pertinence de l’utilisation des mathématiques en économie, dont nous présenterons maintenant deux fragments, à la fois significatifs et représentatifs, qui permettront de le caractériser.

3.5-

L’histoire des mathématiques comme savoir fondamental pour l’économie commence avec un ouvrage pionnier, paru en 1838, les Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, dont l’auteur est Antoine-Augustin Cournot (1801-1877) [3]. Il y recourt au calcul différentiel et intégral – au calculus des anglo-saxons –, qui doit permettre, selon lui, d’échapper au « vague de la vieille métaphysique ». D’emblée, nous trouvons ici réunis les trois ingrédients de la mathématisation en économie que nous avons rencontrés plus haut : la coprésence solidaire de certains types de courbes, d’un traitement analytique des fonctions auxquelles ces courbes renvoient, et d’un système d’hypothèses justificatives, mi-mathématiques, mi-économiques, dont la validité peut être indéfiniment objet de débat. Cournot s’intéresse en effet à la demande effective d’un bien sur le marché, et le concept essentiel est ici celui de fonction, qui s’est cristallisé à partir du dernier tiers du xviiie siècle [4]. Il introduit la fonction de demande, D = F(p), où p est le prix du bien considéré, qu’il suppose monotone décroissante, continue, dérivable, et même deux fois dérivable [5]. Le problème posé au calcul économique est alors le suivant : déterminer le maximum de la fonction pF(p), produit de la quantité globale du bien demandé par son prix unitaire. Claude Ménard, que nous suivons ici, note à ce propos [6] : « Ainsi sont mises en place les deux fonctions décisives de la théorie des prix [...] ». Ajoutons : ainsi s’introduit le calcul infinitésimal dans la science économique. La détermination du maximum, en effet, relève de ces techniques que devra apprendre aujourd’hui tout étudiant en économie – dont nous avons vu un exemple plus haut : le prix maximum cherché correspond au point où s’annule la dérivée de pF(p) ; il vaut « donc » : pmax = –F(p)/ F’(p). Ce résultat toutefois ne peut être établi que sous des hypothèses dont la pertinence ne va pas de soi : le prix pour lequel la dérivée s’annule doit être compris dans l’intervalle effectif de variation du prix ; Cournot en outre rejette l’idée que la dérivée puisse s’annuler plusieurs fois dans ce même intervalle ; etc. L’ensemble des hypothèses faites, explicitement ou implicitement, précise, sous une forme analytique, une situation que l’on peut autrement décrire, synthétiquement, par les courbes suivantes  [7] :

3.6-

Ce parti pris d’utilisation des mathématiques va éloigner de l’œuvre de Cournot nombre de lecteurs potentiels, « trop étrangers à toute espèce de considération géométrique », et conduira l’auteur à reprendre sa théorie pour la débarrasser de tout appareil mathématique – dans deux ouvrages Principes de la théorie des richesses (1863) et Revue sommaire des doctrines économiques (1877). Cette publication des Principes va fournir une occasion de revenir aux Recherches : Robert de Fontenay prend la plume dans le tout puissant Journal des économistes [8], pour souligner la lucidité des partisans de l’antimathématisme en économie, dont l’un des précurseurs en France fut Jean-Baptiste Say (1767-1832), dans un Discours préliminaire qu’il ajoute en 1826 à une nouvelle édition de son Traité d’économie politique en référence à une « mathématisation » qui n’existe encore qu’à l’état de traces. En effet, par leur abandon de tout appareil mathématique, il semble bien que les Principes donnent tort aux Recherches. L’argumentation de Fontenay vaut qu’on s’y arrête parce qu’elle énonce les arguments de toujours du débat toujours ouvert à propos des mathématiques en économie. Premier élément, lorsqu’il écrit ses Recherches, Cournot ne fait pas œuvre d’économiste, mais donne libre cours à son goût pour les mathématiques, en se contentant d’appliquer l’analyse à la matière économique, sans respect pour celle-ci. Deuxième élément, la « science économique » qui en résulte, toute hérissée qu’elle est de « hiéroglyphes effarouchants », répugne à l’économiste de bonne facture. Troisième élément, l’entreprise mathématisante ne saurait réussir en économie comme elle l’a fait dans les sciences de la nature : là « algèbre triomphante », légitimement installée au cœur de la discipline, elle devient ici « algèbre militante », employée à tort comme méthode d’investigation alors qu’elle n’est qu’un simple moyen d’expression. Dernier élément, la science économique qui tente de se construire de cette manière « bizarre et hardie » trahit la réalité économique, dont elle subordonne l’analyse aux possibilités offertes par un outil forgé pour un tout autre emploi. Autant d’éléments que l’on retrouvera inchangés au fil du temps.

3.7-

Citons ici, par exemple, Maurice Allais (1911-), prix Nobel d’économie 1988, dans la préface à un ouvrage qui contient un véritable florilège de la polémique antimathématique [9] :

Où se trouvent les abus des mathématiques ? Il y a abus toutes les fois qu’on les utilise alors qu’elles ne sont pas strictement nécessaires. Il y a encore abus toutes les fois que ceux qui les utilisent ne sont pas capables d’exprimer en termes très simples et en langage ordinaire les modèles qu’ils considèrent, leurs hypothèses et leur conséquences. Pour trop d’auteurs, l’économie n’est qu’un prétexte pour démontrer des théorèmes de mathématiques sans aucune relation que ce soit avec la réalité. Ce n’est là que la manifestation d’une pseudo-science tout à fait nuisible et qui malheureusement peut abuser les esprits non avertis. (...) C’est un fait qu’une grande partie de la littérature théorique contemporaine est progressivement passée sous le contrôle de purs mathématiciens plus préoccupés de théorèmes mathématiques que de l’analyse du réel, et on assiste trop souvent à un nouveau totalitarisme scolastique fondé sur des conceptions abstraites, a prioristes et détachées de toute réalité, à cette espèce de mathematical charlatanry que dénonçait déjà Keynes dans son Treatise on Probability. Au regard du seul critère de la conformité avec l’expérience, quatre-vingt-dix pour cent des théories économiques contemporaines devraient être éliminées.

On le voit, en deux siècles, la thématique du discours n’a guère changé. Mais leurs auteurs occupent, vis-à-vis des mathématiques – et de leur utilisation en économie –, des positions différentes. S’il y a fort à parier que Robert de Fontenay n’entendait rien aux mathématiques, Maurice Allais, prix Nobel de sciences économiques en 1988 nous l’avons dit, ancien élève de l’école polytechnique et de l’école des Mines de Paris, est un économiste mathématicien : Allais semble donc attaquer son propre camp...

3.8-

Notons qu’il serait faux de croire que ce type de réactions est propre à la mathématisation en économie. On le retrouve historiquement dans tout processus de mathématisation. En physique, par exemple, le même type de discours est tenu au xviiie siècle contre Newton, qui attenterait à la vraie nature de la physique par le caractère mathématisé à outrance de ses théories. Voici à titre d’exemple ce qu’écrit Jean-Paul Marat – qui mourut comme on le sait – à propos de l’œuvre de Newton :

Ici paraissent dans tout leur jour, l’abus de la science et la variété des spéculations mathématiques : car à quoi ont abouti tant d’expériences ingénieuses, tant de fines observations, tant de savants calculs, tant de profondes recherches, qu’à établir une doctrine erronée qu’un simple fait renverse sans retour ? Et pourquoi ont été prodigués tant d’efforts de génie, tant de formules bizarres, tant d’hypothèses révoltantes, tant de merveilleux, que pour mieux faire sentir l’embarras de l’Auteur ?

Le noyau commun à toutes ces réactions semble pouvoir être décrit ainsi. La mathématisation apparaît comme une agression contre le savoir ainsi mathématisé, et une agression qui attente à la « vraie nature » de ce savoir – physique ou économique par exemple. Il en va même ainsi au sein des mathématiques elles-mêmes : on connaît en particulier le vif débat par lequel, au xixe siècle, les tenants de la géométrie pure (ou synthétique) tentèrent de s’opposer à l’algébrisation de la géométrie. Il est difficile pourtant de ne pas voir, par delà ces réactions outragées, des difficultés non seulement institutionnelles et culturelles mais aussi purement didactiques. C’est ce que Gaston Bachelard énonce crûment en commentant le passage cité plus haut dû à Jean-Paul Marat :

Pour nous qui nous plaçons au point de vue psychanalytique, nous devons nous demander si l’embarras où l’on accuse Newton de se trouver, n’est pas une preuve de l’embarras de son lecteur devant les difficultés mathématiques de l’œuvre. L’hostilité aux mathématiques est un mauvais signe lorsqu’elle s’allie à une prétention de saisir directement les phénomènes scientifiques. Marat va jusqu’à écrire : Newton « courut après des chimères, fit un roman physique et s’épuisa en fictions ridicules ».

3.9-

Ainsi, lorsque paraît en 1947 Foundations of Economic Analysis, l’ouvrage de Paul Anthony Samuelson (1915-), prix Nobel d’économie 1970, dans lequel l’auteur utilise systématiquement le calcul différentiel en dimension n, celui-ci peut être regardé dans l’institution de production des savoirs économiques, en ce qui concerne les mathématiques en économie, comme une proposition curriculaire qui vient mettre à bas l’ancien programme d’étude arc-bouté sur les méthodes graphiques dont nous avons vu un échantillon avec le raisonnement sur les isoquantes. La communauté des économistes entre alors en crise et le débat s’ouvre. Communauté savante à l’égard de la science économique, elle fonctionne comme une communauté didactique à l’endroit des mathématiques. Pour Samuelson, il s’agit de faire reconnaître les mathématiques dont la disponibilité est jugée fondamentale pour la théorie économique. Voici ce qu’il en est dans le savoir savant économique ; voici ce qu’il devrait en être dans le savoir moyen correspondant – celui de l’économiste théoricien. Les choses, bien entendu, ne sont pas si simples. La communauté concernée réagit et résiste, éventuellement en faisant flèche de tout bois ; c’est cette réaction qu’exprimera Kenneth E. Boulding, économiste mathématicien de renom né en 1910, qui était un spécialiste de la méthode graphique. Car tout un univers de compétences et de positions sociales est potentiellement remis en question. Boulding, ainsi, se présente comme économiste mathématicien. Il est de fait, surtout, un maître de l’« analyse graphique » en théorie économique. Que la proposition de Samuelson triomphe, et il appartiendra au passé [10]. Le débat épistémologique où il s’engage – comme d’autres avec lui – est d’abord le symptôme d’une autre difficulté, qui disparaîtrait sans doute en grande partie si l’apprentissage instantané et à coût nul des mathématiques nécessaires était possible. Les enjeux du débat sont ainsi tout à la fois institutionnels, épistémologiques et didactiques, mais seuls les enjeux épistémologiques sont le lieu où le débat est ouvertement possible. Chacun s’y exprime pour défendre l’authenticité de la science économique et guider son développement dans la voie la meilleure. Les enjeux institutionnels restent – sauf exception – non explicités, et les enjeux didactiques, quant à eux, sont le « cadavre dans le placard » – dont il faudra bien parvenir à se débarrasser.

3.10-

Ces relations (asymétriques, voire unilatérales) entre science économique et mathématiques illustrent exemplairement (et cela depuis le premier tiers du xixe siècle au moins) ce qu’Yves Chevallard a désigné comme une phobie culturelle, qu’un rien ravive, à l’endroit des mathématiques [11]. Il existe, en effet, dans la culture des sociétés occidentales un très ancien conflit dont l’expression discursive fait clairement apparaître les mathématiques comme un « mauvais objet ». La manipulation et la fréquentation des mathématiques constitueraient en elles-mêmes une source de danger. L’emploi des mathématiques échangerait une promesse de surpuissance contre une certitude d’aliénation, de perte d’identité, de dénaturation. À cet égard, on peut noter que si, s’agissant des enseignements scolaires des mathématiques, l’interprétation généralement adoptée réduit l’antimathématisme culturel à une dénonciation, non des mathématiques elles-mêmes, mais de leur prétendue « dictature » dans l’enseignement, cette interprétation ne peut plus être maintenue dans le cas qui nous occupe. Le discours se fait ici plus véhément, et prend pour cible, non pas seulement un excès supposé de mathématiques enseignées, mais bien les mathématiques comme mode de connaissance du réel.

3.11-

Le problème de la « phobie antimathématique » apparaît central et même vital dans le fonctionnement des sociétés modernes [12]. Mais l’interprétation que nous venons de donner, et qui inverse l’interprétation ordinairement reçue (c’est moins l’enseignement des mathématiques qui suscite des réactions phobiques que les mathématiques elles-mêmes), doit être elle-même complétée et, par cela, retouchée. La phobie antimathématique, en effet, semble bien apparaître chaque fois qu’apparaissent des mathématiques à apprendre, ou qui pourraient être à apprendre. Cette analyse, au demeurant, permet de comprendre la superposition quasi exacte, s’agissant de l’enseignement secondaire notamment, du réflexe culturel antimathématique et de la dénonciation de la dictature de l’enseignement des mathématiques. Inversement cette analyse nous conduit à saisir, à l’intérieur de la communauté des économistes, derrière une agitation antimathématique toujours prête à renaître de ses cendres, la présence au moins virtuelle d’une exigence d’apprentissage de mathématiques.

Venons-en maintenant à la lumière des considérations précédentes au débat récent sur l’enseignement de l’économie.

4- Un débat sur l’enseignement de l’économie

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4.1-

Ce débat a été initié par une lettre ouverte d’étudiants de l’école normale supérieure de la rue d’Ulm, de Cachan, du magistère de Paris I, datée de mai 2000 et dont le journal Le Monde a rendu compte le 21 juin 2000. Voici le texte de cette lettre :


« Nous, étudiants en économie dans les universités et grandes écoles françaises, nous déclarons globalement mécontents de l’enseignement que nous y recevons. Et ce pour les raisons suivantes :

Sortons des mondes imaginaires !

La plupart d’entre nous a choisi la filière économique afin d’acquérir une compréhension approfondie des phénomènes économiques auxquels le citoyen d’aujourd’hui est confronté. Or, l’enseignement tel qu’il est dispensé – c’est-à-dire dans la plupart des cas celui de la théorie néoclassique ou d’approches dérivées – ne répond généralement pas à cette attente. En effet, si la théorie se détache légitimement des contingences dans un premier temps, elle effectue en revanche rarement le nécessaire retour aux faits : la partie empirique (histoire des faits, fonctionnement des institutions, étude des comportements et des stratégies des agents... ) est quasiment inexistante. Par ailleurs, ce décalage de l’enseignement par rapport aux réalités concrètes pose nécessairement un problème d’adaptation pour ceux qui voudraient se rendre utiles auprès des acteurs économiques et sociaux.

Non à l’usage incontrôlé des mathématiques !

L’usage instrumental des mathématiques semble nécessaire. Mais le recours à la formalisation mathématique, lorsqu’elle n’est plus un instrument mais devient une fin en soi, conduit à une véritable schizophrénie par rapport au monde réel. La formalisation permet par contre de construire facilement des exercices, de « faire tourner » des modèles où l’important est de trouver « le bon » résultat (c’est à dire le résultat logique par rapport aux hypothèses de départ) pour pouvoir rendre une bonne copie. Ceci facilite la notation et la sélection, sous couvert de scientificité, mais ne répond jamais aux questions que nous nous posons sur les débats économiques contemporains.

Pour un pluralisme des approches en économie !

Trop souvent, le cours magistral ne laisse pas de place à la réflexion. Parmi toutes les approches en présence, on ne nous en présente généralement qu’une seule, et elle est censée tout expliquer selon une démarche purement axiomatique, comme s’il s’agissait de LA vérité économique. Nous n’acceptons pas ce dogmatisme. Nous voulons un pluralisme des explications, adapté à la complexité des objets et à l’incertitude qui plane sur la plupart des grandes questions en économie (chômage, inégalités, place de la finance, avantages et inconvénients du libre-échange, etc.)

Appel aux enseignants : réveillez-vous avant qu’il ne soit trop tard !

Nous savons bien que nos professeurs sont eux-mêmes tenus par certaines contraintes. Nous en appelons néanmoins au soutien de tous ceux qui comprennent nos revendications, et qui souhaitent un changement. Si celui-ci n’a pas lieu rapidement, le risque est grand que les étudiants, qui ont déjà amorcé un mouvement de retrait, ne désertent massivement une filière devenue inintéressante, parce que coupée des réalités et des débats du monde contemporain.

NOUS NE VOULONS PLUS FAIRE SEMBLANT D’ÉTUDIER CETTE SCIENCE AUTISTE QU’ON ESSAIE DE NOUS IMPOSER.

Nous ne demandons pas l’impossible, mais uniquement ce que le bon sens peut suggérer à tout un chacun. Nous espérons donc être entendus dans les plus brefs délais. »


Une deuxième version de cette lettre ouverte, datée de novembre 2000, se présente sous la forme d’un « manifeste pour une réforme de l’enseignement de l’économie » et présente trois « propositions » :


« La lettre appelait à “sortir des mondes imaginaires”.

Pour atteindre cet objectif, il convient d’avoir une connaissance fine de l’économie concrète, de ses acteurs et de son environnement. Les cursus devraient comporter une part beaucoup plus grande d’économie descriptive qui comprendrait l’histoire des faits économiques, l’étude des principales institutions économiques (états, institutions internationales, entreprises, syndicats, ménages, etc.), ainsi que la géographie économique.

Elle déplorait “l’usage abusif de la formalisation”.

La question n’est pas “pour ou contre les maths” : les techniques quantitatives et formelles sont justifiées, mais dans la mesure où elles répondent à des problèmes économiques précis (ex. : décisions d’investissement des firmes, effet des minima sociaux, etc.). Les maths ne sont pas une garantie de scientificité.

Elle s’inquiétait de l’absence de contextualisation des théories présentées.

C’est pourquoi les cours devraient fournir les éléments nécessaires à une véritable réflexion sur les enjeux politiques et éthiques de l’économie, en partant de questions fondamentales (“à quoi sert l’état ?”, “qu’est-ce qu’une société juste ?”, etc.). Ces propositions ont pour conséquence la disparition des fameux blocs “micro 1, 2,…”, “macro 1, 2,…”, dont les contenus ne seront repris que s’ils sont vraiment nécessaires à la résolution de problèmes économiques (et dans le cours d’histoire des théories) : exit les calculs de TMS à longueur de semestres ! »


4.2-

Le texte des étudiants pose principalement un problème didactique : il s’élève contre le fait que l’enseignement de l’économie soit démotivé, ou encore pour le dire autrement, que les questions auxquelles la science économique permet d’apporter des réponses soient absentes de l’enseignement qui leur est délivré ; il reproche la non explicitation des hypothèses des modèles étudiés. La conclusion d’un texte signé par ces mêmes étudiants et publié par le journal la Tribune le 3 juillet 2000 est à cet égard éclairante : « L’insatisfaction des étudiants (qui se manifeste objectivement dans les nombreuses signatures que nous avons pu obtenir) doit être prise au sérieux ; pour cela, un certain nombre de principes devraient être respectés : présenter les enjeux politiques et sociaux qui ont présidé à l’avènement des théories étudiées, mobiliser plus souvent les données empiriques et l’histoire économique pour éclairer ou relativiser la pertinence des modèles présentés, partir des problèmes concrets auxquels la société contemporaine est aujourd’hui confrontée, laisser la place à plusieurs théories, etc. ». Le débat est donc lancé sur un terrain à la fois épistémologique et didactique, fait assez nouveau pour être souligné.

4.3-

Le journal Le Monde rend compte de cette lettre ouverte le 21 juin 2000, par un article de Laurent Mauduit intitulé « Une pétition partie de Normale-Sup s’insurge contre les excès de la modélisation mathématique ». Le ton est donné : l’enjeu didactique du débat est ignoré et c’est sur le terrain épistémologique que le fer sera porté, avec la question de l’utilisation des mathématiques comme pierre de touche. On voit ainsi, dans le même article, Jean-Paul Fitoussi, président pour l’année 2000 du jury de l’agrégation d’économie et qui sera en novembre chargé par Jack Lang d’une mission de réflexion sur l’enseignement de l’économie [13], déclarer que « les étudiants ont raison de dénoncer la façon dont l’économie est généralement enseignée en France ». « Les mathématiques ne sont évidemment qu’un instrument qu’il faut savoir utiliser », dit-il, mais « lorsqu’elles occupent tout l’espace, elles conduisent à la désincarnation du discours économique ». Bernard Paulré, professeur d’économie à Paris I qui lancera un appel pour soutenir l’initiative des étudiants, déclare à l’Express en juillet 2000 : « Celles-ci [les mathématiques] sont parfois utilisées comme une fin en soi, alors qu’elles ne sont qu’un outil. D’où certaines aberrations : un étudiant très bon en maths peut décrocher une note brillante à un examen sans avoir forcément compris les mécanismes économiques en jeux ! L’école française a toujours valorisé les mathématiques au détriment du français, et l’université reproduit malheureusement ce schéma. Les modèles théoriques complexes devraient être réservés aux étudiants de troisième cycle. » On retrouve là les symptômes de la pathologie signalée à propos du caractère fondamental des mathématiques par rapport à l’économie, et l’argument traditionnellement avancé : les mathématiques dénaturent le savoir économique. On pourrait multiplier les citations mais nous en donnerons une dernière, issue du journal Le Monde, daté du 31 octobre 2000, qui consacrait un dossier à la polémique engagée.

Dans un article introductif intitulé « L’économie s’est elle dissoute dans les mathématiques ? », Yves Mamou écrivait : « Partir en guerre pour “préserver la scientificité de l’économie” ? Il faut être français et universitaire pour goûter pareille croisade. Dans une Université déjà en ébullition, depuis juin, en raison d’une vive contestation de la part de certains professeurs et étudiants du primat des mathématiques dans l’enseignement économique, voilà la polémique ravivée par un “contre-appel” (…) Son but est de garder leur place aux mathématiques, tout en réfutant toute assimilation de la formalisation du savoir avec “certaines théories économiques (les théories néoclassiques) dénoncées comme tendancieuses et ayant comme objectif d’assurer la suprématie de certains groupes au sein de la société”. (…)

Pour comprendre le sens de cette empoignade, il faut remonter à une première pétition, signée en mai dernier, par quelques étudiants de l’école normale supérieure demandant plus de “pluralisme” et moins de mathématiques dans l’enseignement économique. »

4.4-

Pourtant, et c’est une nouveauté, des voix s’élèvent pour ramener le débat sur le terrain épistémologico-didactique. Les étudiants d’abord qui, sur le site Internet qu’ils ont créé à cette occasion www.autisme-economie.org, publient un texte intitulé « Y a-t-il un problème avec les mathématiques en économie ? » dont nous citerons ici quelques lignes :

« Depuis que l’appel a été lancé, le débat a été détourné sur les mathématiques. De façon à nous traiter comme des imbéciles : chers petits, vous n’avez pas compris que les mathématiques sont neutres, qu’elles n’ont rien à voir avec l’idéologie, qu’elles ne sont pas contestables en soi, qu’elles sont le modèle même de la rigueur. évidemment, le problème n’est pas au niveau des mathématiques, qui sont ce qu’elles sont. Le problème est dans la PERTINENCE des modèles et théories qui les utilisent, et c’est cette pertinence que nous contestons – et à propos de laquelle on ne nous répond pas. (…)

Est-il pertinent de vouloir étudier l’évolution effective de l’économie d’un pays tout entier, données à l’appui, en considérant qu’elle se comporte comme un individu (unique), dont elle ne ferait que refléter les choix ? La réponse est évidente : NON. Dans ces conditions : où est l’intérêt d’accabler l’étudiant avec les méthodes du contrôle optimal et avec les techniques statistiques de confrontation des “choix intertemporels” d’un individu (Robinson ou autre) avec les données disponibles sur l’évolution du PIB de tel ou tel pays ? Selon nous, il n’y en a pas. ».

Des enseignants ensuite. Certains lancent un « Contre-appel pour préserver la scientificité de l’économie », publié dans Le Monde daté du 31 octobre 2000 et qu’ils concluent par ces mots : « Les signataires du présent texte en appellent donc à la raison et à la juste mesure, pour proposer de recentrer le débat sur le terrain de la complémentarité des instruments qui fondent ensemble l’approche scientifique, et plus encore sur celui de la pédagogie. C’est à vrai dire sur ce dernier terrain qu’est née la protestation des étudiants ».

Un économiste fameux enfin. Robert Solow (1924-), prix Nobel d’économie en 1987, écrit dans Le Monde daté du 3 janvier 2001 : « je constatais que la controverse qui a par la suite émergé entre universitaires était d’une nature différente. Le discours était devenu opaque et presque incompréhensible. La rhétorique ne servait pas tant à soutenir les étudiants dans leur quête d’un meilleur enseignement qu’à alimenter un débat relevant de la doctrine, voire de l’idéologie. »

4.5-

Cet élément, qui consiste à porter le débat sur le terrain didactique, mérite d’être souligné car il est, nous l’avons dit, inédit et qu’il constitue un point crucial de difficulté. Le problème posé, à savoir l’absence dans les corpus de savoirs enseignés des questions vives auxquelles ces savoirs répondent, n’est pas spécifique de l’enseignement de d’économie : c’est un phénomène général, dû sans doute à l’obsolescence des savoirs enseignés. Mais c’est un phénomène auquel il faudrait remédier sous peine de voir les savoirs dont la diffusion est visée par l’institution scolaire, et par l’université en particulier, perdre toute crédibilité.

5- Bibliographie

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- Allais M. Préface. In de Calan P. et Quinet E. Les mathématiques en économie. Paris : éditions Universitaires, 1992. pp. 7-13.

- Artaud M. La mathématisation en économie comme problème didactique - Une étude exploratoire. Thèse pour l’obtention du grade de docteur de l’Université d’Aix-Marseille II. Marseille : IREM d’Aix-Marseille, 1993.

- Boulding K. E. Samuelson’s Foundations : The Role of Mathematics in Economics. The Journal of Political Economy. LVI (3) 187-199.

- Chevallard Y. La transposition didactique - Du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble : La Pensée Sauvage, 1991. Deuxième édition.

- Chevallard Y. Pour en finir avec une certaine phobie culturelle. Science et Vie, numéro hors série Sciences à l’école : les raisons du malaise, septembre 1992 60-69.

- Généreux J. Introduction à l’économie. Paris : Seuil, 2001. Collection Points économie. Troisième édition mise à jour.

- Ménard C. La formation de la rationalité économique : A. A. Cournot. Paris : Flammarion, 1978.

- Samuelson P. A. Foundations of Economic Analysis. Cambridge, Massachussetts : Harvard University Press, 1947. Enlarged Edition, 1983.

6- ANNEXE

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Quelques ouvrages d’économie utilisant des mathématiques ou de mathématiques pour économistes

- Abraham-Frois G. Micro économie. Paris : économica, 1989.

- Dollo C. et Luiset B. Des concepts économiques aux outils mathématiques. Paris : Hachette supérieur, 1998.

- Guerrien B. et Nezeys B. Microéconomie et calcul économique. Paris : économica, 1987.

- Lancry J.P. Mathéco – Cours polycopié de mathématiques économiques. Paris : économica, 1982.

- Spalanzani A.M. Précis de mathématiques pour la gestion et l’économie. Grenoble : pug, 1995.

Quelques ouvrages pour approcher l’économie

- Brémond J. et Gélédan A. Dictionnaire des théories et mécanismes économiques. Paris : Hatier, 1984.

- Capul J.Y. et Garnier O. Dictionnaire d’économie et de sciences sociales. Paris : Hatier, 1994.

- Cahuc P. La nouvelle microéconomie. Paris : La découverte, 1993. Collection Repères.

- Guerrien B. La microéconomie. Paris : Seuil, 1995. Collection Points économie.

- Guerrien B. (dir.). Découverte de la microéconomie. Les cahiers français 254 (janv-fév 1992).

- Malinvaud E. Voies de la recherche macroéconomique. Paris : Seuil, 1991. Collection Points économie.

- Cinquante ans de problèmes économiques. Problèmes économiques 265-266 (avril 1998).

Quelques éléments de la discussion

La discussion qui a suivi l’exposé a porté essentiellement sur le débat ouvert par la pétition des étudiants des Ecoles Normales Supérieures, débat qui, ainsi que l’a souligné un des participants est " sur-infecté " et dont seuls quelques fils ont été tirés lors de la discussion :

- L’assemblée ne revient pas sur ce qui a été clairement exposé : les mathématiques sont partie prenante de la science économique.
- Sur le lien supposé entre mathématisation et ultralibéralisme : un intervenant fait remarquer que toutes les imperfections du marché sont apparues grâce aux modèles mathématiques. Robert Solow, qui n1était pas mathématicien au départ, a utilisé les mathématiques au plus haut niveau pour son modèle de croissance (1956) qui adopte des hypothèses néo-classiques, puis il a défendu des politiques keynésiennes dans les années 60. - L’accusation de formalisme et d’utilisation excessive des mathématiques est récurrente dans l’histoire de la discipline (et même d’autres disciplines). Elle est souvent un déguisement épistémologique destiné à masquer des problèmes d’une autre nature.

Certains intervenants reprennent toutefois à leur compte :

- Le reproche adressé a la microéconomie : les connaissances et les expériences qu’ils ont de cette discipline ne leur permettent pas de comprendre les phénomènes et l’actualité économique et sont même parfois en contradiction avec leurs observations
- Le reproche adressé à l’enseignement universitaire de l’économie qui utiliserait les mathématiques pour évacuer les éclaircissements nécessaires sur les hypothèses de base. Les mathématiques serviraient donc à la fois d’écran et de gage de scientificité.

La discussion a surtout porté sur l’analyse d’un tel débat, sur son émergence et sur son traitement médiatique. Pour certains intervenants, le manifeste des étudiants n’est pas vraiment significatif : l’enseignement de l’économie présente toujours une histoire de la pensée. Il est nécessaire pour pouvoir réfléchir sur la discipline et prendre un certain recul, d’avoir passé plusieurs années à l’étudier. A contrario, d’autres intervenants mettent l’accent sur le problème didactique dont la " lettre ouverte " serait un signe mais qui est sans doute un problème commun à toutes les disciplines scientifiques enseignées au lycée et à l’université. Problème qui n’est pas explicité en tant que tel et donc n’est pas considéré, voire méprisé. Est également soulignée, la dimension politique du débat : les étudiants s’insurgent contre la présentation d’un modèle unique.

Enfin, le traitement médiatique du débat est mis en cause. Le Monde notamment a détourné le sens de la lettre ouverte des revendications des étudiants en les présentant comme un problème de place des mathématiques dans l’enseignement de l’économie, ce qui n’était pas le cas !


[1] Equipe de didactique des mathématiques de l’IUFM d’Aix-Marseille m.artaud@aix-mrs.iufm.fr

[2] On notera ici l’intérêt de la fonction de Cobb-Douglas qui donne une relation R1 linéaire

[3] Mathématicien français attaché, avec quelques autres parmi lesquels on compte notamment Condorcet (1743-1794), à lélaboration d’une science du social ayant la même dignité épistémologique, la même rigueur et la même certitude que les sciences de la nature. Cournot voit également son nom associé à la promotion du point de vue probabiliste (Cournot.A. Exposition de la théorie des chances et des probabilités, Paris, 1843)

[4] Cournot a là-dessus beaucoup réfléchi, à la suite de Lagrande, Monge ou Poisson, et il publiera en 1841 un Traité de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal

[5] Pour éviter tout anachronisme, rappelons ici que les notions de continuité et de dérivabilité ne sont à cette époque pas encore clairement distinguées. Cf. Chevallard 1991, pp 90-91

[6] Ménard 1978, pp 24-25

[7] Ménard 1978, p 25

[8] De Fontenay R. (1864), "Les principes de la théorie des richesses de M.Cournot", Journal des économistes, vol.43, août 1864, pp. 231-251

[9] Allais 1992, pp. 10-11

[10] La réaction de Maurice Allais face à la "littérature économique contemporaine" , que nous avons citée plus haut, est à cet égard semblable à celle de Boulding face à l’économie de Samuelson

[11] Chevalalrd 1992

[12] Op. cit. passim.

[13] Le rapport de cette mission est paru en septembre 2001 aux éditions Fayard sous le titre L’enseignement supérieur des sciences économiques en question