Géométries non euclidiennes

dimanche 11 mai 2008
par  Anne-Marie Adam
popularité : 1%

Responsable : Michaël PUSCHNIGG

Dates : les 11 - 12 - 13 mai 2009 -(9h - 16h45)

Tuteurs

Garabed HALLADJIAN - Safia HALOUI - Baptiste SAVOIE

Invités

- Francis LORET
- Classe de 3ème - Collège Albert Camus de Miramas


Commentaires  forum ferme

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dimanche 10 mai 2009 à 23h14 - par  Rambo 117

Et moi qui m’attendait ’’simplement’’ à des courbes elliptiques...

Je vois que vous avez décidé de nous faire courir avant de savoir ramper, la géométrie non euclidienne !
C’était plus simple de dire que les figures géométriques ne seront pas sur du plat !
(attention à la chute)

Surtout que je viens juste de faire une petite recherche pour me mettre dans le bain, et j’apprend tout simplement que d’après Poincaré, l’accès à des objets à quatre dimensions ne saurait être qu’accidentel et notre base perceptive reste l’espace à 3 dimensions :

Une expérience quelle qu’elle soit, comporte une interprétation dans l’hypothèse euclidienne.

(essayez de ne pas vous évanouir... bon pour vous les chercheurs ça ne devrais pas être compliqué)

Je continue :
Si Poincaré envisage un « solide invariable à quatre dimensions », la notion de temps comme quatrième dimension, qui existe déjà chez Alembert dans son Encyclopédie de 1754, sera surtout développée chez Einstein avec le continuum d’espace-temps pseudo-euclidien de Minkowski (espace quadridimensionnel rigide).

Un tel espace-temps peut contenir le devenir d’un être à trois dimensions dans la relativité restreinte, puis variété pseudo-riemannienne avec ses systèmes de coordonnées curvilignes d’espace et de temps en relativité générale. Son intersection avec un espace tridimensionnel donne donc le « présent » d’un univers. (euh... d’accord, vous êtes encore debout ?)

Sinon on nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes... axiome ?... sa veut dire une... Euh... une affirmation considéré évidente et qui n’a nul besoin de preuves... sont compliqués ces mots... Pffff... pourquoi on dit pas simplement que c’est une vérité indémontrable ! non ? Pour en revenir à notre sujet, on nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.

Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être superflu.

Là, je suis sur que vous n’avez pas compris ce qu’était un postulat ! Ah !
En fait on nomme postulat un principe utilisé dans la construction d’un système déductif, mais qu’on ne démontre pas lui-même, sans pour autant s’interdire la possibilité de s’y essayer plus tard (en ce sens, le postulat se distingue de l’axiome, ce dernier étant toujours posé au départ comme un élément fondamental du système qu’on ne cherchera pas à démontrer. En clair ? il ne se foulait pas à l’époque).

On peut donc utiliser un postulat avec l’assentiment de l’auditeur, qui le prend comme un principe non démontré mais sans doute légitime, (en fait, faut déjà croire à quelque chose de non démontré et ensuite croire une théorie nouvelle basée sur les théories d’avant qui étaient déjà théoriquement et démonstrativement invérifiable, on se moque pas de lui... il y croit...) Bon... on va dire qu’il prend le postulat comme un principe légitime ok ? Car cela semble intuitivement non contestable (ou parce que prouvé ultérieurement par des démonstrations ne le faisant bien entendu pas intervenir ). Mais bien sur la plupart des postulats sont des marques de bon sens, clairement, des appuis sur l’expérience.

Si on mettait ça en scène cela donnerait :

Le professeur dit :
"Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n’est équipotent à aucun intervalle borné de, ou de façon équivalente, s’il existe au moins une famille non vide de sous-ensembles de E qui n’a pas d’élément minimal pour l’inclusion"

Et l’élève qui ne comprend pas demande :

"Oui... Mais pourquoi M’sieur ?"

Tout en ne quittant pas l’élève des yeux le professeur sort un revolver et et vise l’élève,
et répond d’une voix chaleureuse mais inamicale :
"Parce que il faut que tu y crois... Tu y crois ?"

A ce moment on entend le click de la sécurité de l’arme qui est enlevé... Et l’élève appeuré et immobile est obligé de dire Oui.

Fin de la parenthèse... On pensa longtemps que la géométrie d’Euclide avait des axiomes et un postulat (celui de la parallèle toujours possible et unique passant par un point). La cohérence des géométries non-euclidiennes a conduit par la suite à considérer qu’elle ne possédait en fait que des axiomes.
Ce à quoi Saccheri, procédant par l’absurde, avait échoué à la fin du XVIIe siècle.

Dans les Éléments d’Euclide, le postulat ressemble à la conclusion d’un théorème, mais qui ne comporterait pas de démonstration :

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Et qu’on peut comprendre comme :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.
Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l’on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l’archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l’avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.

Note aux parents :
Si votre enfant revient les yeux injectés de sang tout en marmonnant à la façon des témoins de la réunion d’une secte des théories, des calculs, des postulats ou des anxiomes sans s’arrêter, faite lui prendre un bain à une température idéale avoisinant les O° Celsius, ou à l’inverse si vous pas assez de glaçons, une eau à plus de 45° le stimulera !

Mais c’est pour rigoler... Jamais un seul élève est revenu de la fac de science de Luminy avec les yeux injectés de sang...

Sinon je suis heureux de participer à un voyage comme celui là, encore merci et bravo à toute l’équipe qui organise un tel séjour de mathérapie !

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lundi 23 mars 2009 à 22h27 - par  Rambo 117

Je suis un des élèves 3è du collège Albert Camus...
Cela fait plus de 1 semaine que je cherche sur quoi l’on va travailler, et j’ai tragiquement trouvé la réponse à ma question !!!

Les Courbes Elliptiques... (Cette fois ci c’est sur... vous voulez nous tuer !!!)
Préparez les cachets d’aspirines ! Les brancards, civières, perfusion de vitamine (et de neurones,je sens que beaucoup vont être perdu au combat...), et pour ceux qui perdront petit à petit leur esprit, leur conscience et tomberons lentement dans la folie, comme notre infiniment regrétté Cantor.. :

Des décharges de défibrilateurs, seront (je l’éspère) gratuitement offertes par La Fac des sciences, pour ne pas s’égarer de ces troublantes courbes électriques, heu... Excusez-moi...Coubes Elliptiques !!

Ces courbes qui sont pour le rappeller un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d’une addition géométrique sur ses points.

Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la preuve du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.

Contrairement à ce que son nom pourrait laisser croire, l’ellipse n’est pas une courbe elliptique. Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales elliptiques, elles-mêmes appelées ainsi car elles servent en particulier à calculer la longueur d’arcs d’ellipses.

À l’aide d’un choix adapté de coordonnées, une courbe elliptique peut être représentée dans un plan par une équation cubique de la forme :

y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6.

Les coefficients a1, a2, a3, a4 et a6 sont des éléments du corps K sur lequel est définie la courbe, mais ils ne sont pas déterminés par la courbe de manière unique.
Réciproquement, pour qu’une telle équation décrive effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière, c’est-à-dire qu’elle n’ait ni point de rebroussement, ni point double.

Moi, personnellement... Ces objets Mathématiques n’ont pas fini de me surprendre !

Je vais encore me remplir une troisième caraffe de poudre d’aspirine aspergé d’eau, me remettre de mes émotions avec ces merveilleuse invention qu’est le défibilateur et je vais allez me coucher !

Un grand merci à tous ceux qui nous accueillerons !
Au revoir et à bientôt dans cet magnifique Univers Humainement Universelle que sont
les Mathématiques !

Brèves

Article de D. Barbolosi sur Hippocampe

lundi 29 août 2011

Dominique Barbolosi a publié un article dans le numéro 83 de Repères-IREM (avril 2011) : Du concret à l’abstrait, de l’heuristique à la rigueur : un nouvel espoir pour l’enseignement des mathématiques ?

Il y propose de réintroduire une chronologie naturelle dans l’enseignement des mathématiques, du concret vers l’abstrait, en appuyant son propos sur l’expérience acquise dans le cadre des stages Hippocampe qu’il a organisés « hors les murs » un peu partout en France.

Sur le Web : L’article en PDF

Ouverture du parcours didactique dans le master Mathématiques et Applications de Marseille

lundi 23 mai 2011

Le parcours didactique du master Mathématiques et Applications de Marseille, dont l’IREM est partenaire, ouvrira à la rentrée 2011. Ce parcours qui débute en M2 est largement ouvert aux professeurs de mathématiques en exercice et notamment aux formateurs IREM.

Plus de détails...

HIPPOCAMPE - Présentation des posters

mardi 15 décembre 2009

Invitation à la présentation des posters HIPPOCAMPE - Maths

Mercredi 16 Décembre 2009 à partir de 15 heures dans les locaux de l’IREM

Thème : Géométries non euclidiennes

Assemblée générale de Math pour Tous

mardi 15 décembre 2009

L’Assemblée Générale de l’association Math pour Tous se tiendra mercredi 16 décembre 2009 à 14h, dans les locaux de l’IREM.

Voici l’ordre du jour :
- bilan moral
- bilan d’activité
- bilan financier
- listes des membres
- renouvellement du CA et du bureau
- projets 2009-10
- achat matériel
- votes des indemnités d’animation
- site internet
- divers

Un pot clôturera la réunion.

Pour contact, écrire à cette adresse.

Pour information

jeudi 12 novembre 2009

Stage Hippocampe annulé

Le stage Hippocampe-Maths sur le Thème : Grammaires et automates qui devait se tenir les lundi 16 - mardi 17 et mercredi 18 novembre 2009 avec une classe de Terminales du Lycée Victor Hugo a été annulé. Une autre date sera proposée