Du discret au continu : de la distribution géométrique à la loi exponentielle

samedi 27 septembre 2008
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Soit p(A) = p la probabilité d’un évènement A. On s’intéresse au temps d’attente K (en nombre entier d’unité de temps) de A.

K suit une loi géométrique de paramètre p définie par : p[K] = p(K=k) = p(1-p)^ k-1 [k Î IN*]. Son espérance est : E(K) = 1/p , et sa variance : V(K) = (1-p)/p ^2.

On rapproche les temps d’observation. Par passage à la limite et correction de continuité, on obtient une variable aléatoire X continue du temps d’attente de A.

X suit une loi exponentielle de paramètre l définie par : p[X] = p(X=x) = l e^
- lx [x Î IR].

On peut visualiser les variations de D = |p[K] - p[X]| pour un p fixé ou pour un x fixé. On voit que lorsque p est ’petit’, D est ’petit’ quel que soit x.

Niveau : Terminale S et ES

Logiciel : GeoplanW (version 2)


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