Des carrés inscrits, et plus ...

dimanche 31 octobre 2010
par  Jean-Louis Maltret
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Les triangles de Reuleaux, courbes de diamètre constant, sont un exemple de forme qui se déplace tout en ayant plusieurs points en commun avec une autre courbe.

Un article récent vient de proposer une autre version de ce problème, avec une courbe sur laquelle peut se déplacer un carré inscrit : Michel Lafond, "Une courbe méconnue : la bizarroïde", Feuille de vigne N° 116, Irem de Dijon, 2010.

On propose ici une démonstration plus simple de ce résultat, ce qui permet d’avoir facilement une généralisation.

1. Cas du carré.

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Dans la version de l’article cité il s’agit de la courbe paramétrique définie par M(t) de coordonnées

- x(t)=\cos(t)+\frac{1}{16}\cos(4t)
- y(t)=\sin(t)+\frac{1}{16}\sin(4t)

on pose k=\frac{1}{16}

Si on écrit la version complexe de cette paramétrisation on a z(t)=x(t)+iy(t)=e^{it}+ke^{4it}

Considérons les 4 sommets d’un carré inscrit dans le cercle unité

c_m(t)=e^{i(t+m\pi/2)}\ m=0,1,2,3

Les 4 points de la courbe, z_m(t)=z(t+m\pi/2) s’obtiennent sous la forme

z_m(t)=c_m(t)+ke^{4i(t+m\pi/2)}
=c_m(t)+ke^{4it}e^{4im\pi/2)}=c_m(t)+ke^{4it}

ce qui permet de voir que les 4 points z_m(t) sont les translatés des 4 points c_m(t), donc sont aussi les sommets d’un carré, inscrit dans la courbe.

2. Généralisation.

La démonstration précédente montre trois choses :

- le résultat est indépendant de k
- la relation 4\times im\pi/2=2im\pi peut s’écrire plutôt 4\times 2im\pi/4=2im\pi et permet de voir que le nombre de côtés du polygone inscrit peut varier. On écrit alors n\times 2im\pi/n=2im\pi
- enfin la relation précédente ne dépend pas de l’ordre des sommets considérés et on peut donc aussi prendre des polygones étoilés.

Le résultat devient donc : un polygone régulier à n côtés, convexe ou pas, peut être inscrit dans la courbe paramétrée donnée par les équations

- x(t)=\cos(t)+k\cos(nt)
- y(t)=\sin(t)+k\sin(nt)

On présente ci-dessous plusieurs figures correspondant à plusieurs valeurs de k (quand k augmente la courbe peut avoir des points doubles) et n=3,4,5,6. Pour n=5 on a un exemple de polygone étoilé.

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