Axel Grorud : Marchés financiers et information 5 mars 2001

lundi 19 janvier 2009
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1 Introduction

Dans le résumé, je proposais trois questions : "en quoi le prix d’une option est-il juste ?" "peut-on avoir un modèle avec asymétrie d’information et sans arbitrage ?" et "les modèles mathématiques de la finance perturbent-ils les marchés ?". Le centre de mes recherches actuelles est le modèle financier avec asymétrie d’information ; nous aborderons ces questions à travers celui-ci.

L’information constitue l’ensemble des connaissances qu’a un agent financier à un moment donné, celle-ci est essentiellement basée sur l’observation des prix des actions ou autres produits financiers sur le marché.

L’agent se sert de cette information pour gérer le portefeuille d’actions dont il a la charge. La structure de l’information est donc une donnée centrale dans ces modèles financiers ; il est par exemple important de savoir si cette information est complète ou incomplète (peut-on observer tous les prix à chaque instant) ; on peut aussi s’interroger sur l’efficience du marché, c’est-à-dire si cet ensemble d’information se voit en retour instantanément sur les prix.

L’information est asymétrique si les divers agents ont des connaissances différentes et les utilisent pour gérer leur portefeuille. Nous mettons en présence deux agents ayant des anticipations différentes du marché financier dans lequel ils agissent. Un agent sera "non-informé", il aura l’information commune, l’autre agent sera, soit "informé", il aura en plus une information privée qu’il va bien sûr exploiter pour augmenter son profit, soit il sera parieur, il considèrera qu’un événement futur se réalisera et il agira en conséquence.

En un sens, le monde "réel" financier est en information asymétrique mais il est difficile, en micro-structure d’étudier de tels modèles, les asymétries créant en quelque sorte des imperfections de marché.

Il y a essentiellement deux approches des modèles avec asymétries, une basée sur l’arbitrage part d’un monde à information symétrique et voit l’asymétrie comme une perturbation ; c’est ce que je développerai plus loin. Une autre approche très intéressante, mais que je n’ai pas le temps de détailler étudie la modification des prix des actions lorsque l’information privée est utilisée pour obtenir un gain supplémentaire (A. Kyle, R. Back, JC Rochet, M. O’Hara).

Dans les modèles avec asymétrie que je vais présenter, l’agent reste "un petit investisseur", c’est-à-dire que sa gestion, bien qu’utilisant l’information privée, ne modifie pas les prix du marché. Cette hypothèse est peu réaliste, mais les modèles stochastiques dans lesquels l’agent influence en retour les prix sont encore du domaine de la recherche.

Je décrirai les modèles avec asymétrie d’information à partir de la description des produits dérivés (options par exemple) et d’abord cette partie de la microstructure qui a donné lieu à la formule de Black-Scholes (L. Bachelier, F. Black R.C. Merton, M. Scholes). On étudie la formation des prix des produits dérivés à partir d’hypothèses de structure sur le marché et non pas à partir d’hypothèses économiques générales.

2 Marché des options, produits dérivés

Commençons par nous situer dans un marché financier sans agent informé. Une option (européenne) est un contrat, entre un acheteur et un vendeur, qui a un prix fixé au début t = 0 et un objectif à l’échéance T. L’acheteur du contrat paie le prix au début (on dit aussi la prime) et le vendeur doit utiliser cette prime et définir une stratégie de gestion pour être certain d’atteindre l’objectif à l’échéance du contrat. Le modèle mathématique permet de définir, et dans certains cas de calculer, le prix du contrat et la stratégie de gestion. On suppose, pour simplifier l’exposé que la prime seule sert à gérer le portefeuille (on dit stratégie autofinancée) ; il n’y aura pas de versements de dividendes ni de consommation.

Par exemple, une option d’achat européenne donne la possibilité à l’acheteur d’acquérir à l’échéance T une action à un prix d’exercice K fixé à la signature du contrat. Si le prix de l’action à l’échéance est plus petit que le prix d’exercice, l’acheteur ne fait rien et il a perdu la prime ; si le prix de l’action à l’échéance est plus grand (que le prix d’exercice) l’acheteur exerce son option et gagne la différence (moins la prime) ; la perte est donc limité et le gain potentiellement infini. Mathématiquement, l’objectif s’écrit \varphi(S_T) = (S_T-K)_+

Le modèle doit, pour être efficace, permettre de calculer un prix "juste’’ à ce contrat, juste (de justesse ou de justice ?) au sens où aucun des deux partenaires ne doit être certain de gagner ; le prix doit être tel que les risques, en probabilité, seront équitablement partagés entre l’acheteur et le vendeur du contrat. On dit parfois que l’acheteur du contrat se décharge du risque sur le vendeur ; l’expression partage (en probabilité) des risques me paraît plus exacte.

La question maintenant est celle de l’existence d’un tel prix puis de son unicité ; cela revient à l’existence d’une ou de plusieurs probabilités pour laquelle les risques sont équilibrés, permettant ainsi le calcul du prix. Une probabilité pour laquelle les risques sont équilibrés est dite risque neutre. Il y a donc :

- Les modèles sans probabilité risque neutre
- Les modèles avec une probabilité risque neutre
- Les modèles avec plusieurs probabilités risque neutres

Les modèles avec une probabilité risque neutre On suppose donc l’existence et l’unicité d’une probabilité qui permet de calculer un prix juste au contrat d’une option européenne.

Pour calculer cette prime le modèle doit faire intervenir tous les événements futurs possibles et mesurer ces événements par des probabilités. On doit trouver une mesure de probabilité (P*) sous laquelle les risques de l’acheteur et du vendeur seront égaux.

Pour faire comprendre comment il est possible de calculer le prix juste et la stratégie de gestion, je présente un modèle simple mais qui contient l’essentiel. Le marché est constitué, dans ce modèle, de la Caisse d’Epargne, dont le rendement est r et d’une action dont le prix est S_0 au temps t = 0. Ce prix, au temps T = 1, soit monte jusqu’à S_1^h, soit descend jusqu’à S_1^b. S_1^b < S_0 < S_1^h.

L’objectif est défini par une fonction de l’action : \varphi(S_1). S_1 est ce que l’on appelle une variable aléatoire car sa valeur dépend de l’alea désigné symboliquement par w : si w = h alors S_1(w) =S_1^h et si w = b alors S_1(w) =S_1^b.

Il s’agit donc de trouver le prix x qui, réparti au temps t = 0, sur la C.E. et l’action permettra au temps T = 1 d’avoir certainement (donc sans risque) \varphi(S_1) quelle que soit la valeur S_1^b ou S_1^h de S_1. On verra qu’il faut deux actifs dans le portefeuille (un sans risque et un risqué) pour annuler le risque de l’alea.

On écrit x = (x-\Delta S_0) + \Delta S_0 ; c’est-à-dire que l’agent achète \Delta actions au prix S_0 et place le reste sur la C.E. On cherche donc x et \Delta. Au temps t = 1, on doit avoir (x-\Delta S_0)(1+r) + \Delta S_1^h=\varphi(S_1^h) et (x-\Delta S_0)(1+r) + \Delta S_1^b=\varphi(S_1^b)

ce qui donne un système à deux équations et deux inconnues ; la solution est

\Delta=\frac{\varphi(S_1^h)-\varphi(S_1^b)}{S_1^h-S_1^b}

x=\frac{1}{1+r}\left(\frac{S_0(1+r)-S_1^b}{S_1^h-S_1^b}\varphi(S_1^h)
+\frac{S_1^h-S_0(1+r)}{S_1^h-S_1^b}\varphi(S_1^b)\right)

Donc, dans ce modèle simple, on peut déterminer x la prime de l’option et le portefeuille \Delta de couverture de l’agent. On peut aussi expliciter, si 1 + r est compris entre \frac{S_1^b}{S_0} et \frac{S_1^h}{S_0}, la probabilité risque neutre. En effet, on note p=\frac{S_0(1+r)-S_1^b}{S_1^h-S_1^b}, q = 1-p =\frac{S_1^h-S_0(1+r)}{S_1^h-S_1^b}, alors x = E_{P^*} (\frac{1}{1+r}\varphi(S_1)).

On doit noter ici que \Delta est la dérivée (discrète) de l’objectif par rapport à \varphi(S_1)) et que x est l’espérance de l’objectif actualisé sous la probabilité P*. Il faut remarquer aussi que le portefeuille est constitué au temps t = 0, alors que l’objectif dépend du temps T = 1.

On peut montrer que si 1 + r n’est pas dans ]\frac{S_1^b}{S_0},\frac{S_1^h}{S_0}[ alors il y a possibilité d’arbitrage ; si 1+r\in] \frac{S_1^b}{S_0},\frac{S_1^h}{S_0}[ il n’y a qu’une probabilité risque neutre P*.

L’élément important de ce calcul est \frac{S_1^h-S_1^b}{S_0} qui représente ce que l’on appelle la volatilité du marché et qui concentre, dans le modèle de Black et Scholes le risque de gestion associé à ce marché.

Il n’est pas difficile d’imaginer que cette stratégie de couverture peut être construite lorsque la durée de gestion contient N étapes. On appelle ce modèle"l’arbre binômial".

Dans le modèle ci-dessus on a deux propriétés importantes en même temps : on peut trouver une probabilité risque neutre qui permet de calculer un prix juste et le risque du marché est complètement couvert par le portefeuille. On a exactement la dimension de gestion qu’il faut pour annuler la dimension de risque.

Un marché dans lequel tout actif contingent, (toute variable aléatoire mesurable au temps T), peut être couvert (accessible par une stratégie autofinancée) est dit complet.

On a en fait un théorème très important : Un marché est complet si et seulement si il n’existe qu’une seule probabilité neutre au risque.

Cela veut dire que pour être certain de couvrir tout risque, il faut une seule probabilité neutre au risque.

Pour revenir à la première question (sur la notion de prix "juste"), si dans ce modèle le prix accepté par les deux parties n’est pas le prix de couverture alors cela crée un arbitrage : celui qui gagne la différence entre le prix "juste" et le prix du contrat peut placer cette différence sur l’actif sans risque et donc a un gain strictement positif certain.

Le partage équitable du risque est exact au sens où s’il n’est pas respecté cela crée un arbitrage.

Les modèles avec plusieurs probabilités risque neutre : On appelle ces modèles incomplets. Il y a plusieurs mesures possibles pour calculer un prix "juste" mais tous les risques ne sont pas couverts, on calcule dans ce cas des intervalles de prix pour un actif contingent, entre le prix de sous-réplication et le prix de sur-réplication.

Les financiers s’accordent pour penser que "dans la vie réelle" les marchés financiers sont incomplets. On peut construire facilement des marchés incomplets ; le modèle trinômial est un exemple simple :

Le marché est constitué, dans ce modèle, de la Caisse d’Epargne, dont le rendement est r et d’une action dont le prix est S_0 au temps t = 0. Ce prix, au temps T = 1, peut prendre trois valeurs S_1^b,S_1^m,S_1^h, S_1^b<S_1^m<S_1^h.

L’objectif est défini par la fonction de l’action : \varphi(S_1).

I1 s’agit donc de trouver le prix x qui, réparti au temps t = 0, sur la C.E. et l’action permettra au temps T = 1 d’avoir certainement (donc sans risque) \varphi(S_1) quelque soit la valeur S_1^b,S_1^m,S_1^h de S_1.

Avec deux actifs dans le portefeuille (un sans risque et un risqué), on ne peut annuler le risque de l’alea car on obtient trois équations pour deux inconnues.

On écrit x = (x-\Delta S_0) + \Delta S_0 ; c’est-à-dire que l’agent achète \Delta actions au prix S_0 et place le reste sur la C.E. On cherche donc x et \Delta. Au temps t = 1, on doit avoir (x-\Delta S_0)(1+r) + \Delta S_1^b=\varphi(S_1^b), (x-\Delta S_0)(1+r) + \Delta S_1^m=\varphi(S_1^m) et (x-\Delta S_0)(1+r) + \Delta S_1^h=\varphi(S_1^h) ce qui donne un système à trois équations et deux inconnues. On n’est donc par sûr de pouvoir couvrir le risque avec deux actifs.

Avec d actifs risqués et 1 actif non risqué, on peut couvrir un risque de dimension d+1 ; si chacune des actions risquée peut prendre 2 valeurs, le risque est de dimension 2^d ; la valeur de d pour laquelle d + 1 =2^d est d = 1.

Lorsque que le nombre d’instants de gestion tend vers l’infini (l’échéance elle restant finie) nous obtenons la formule de Black-Scholes (1973).

Ce modèle de gestion en temps continu peut se généraliser à un nombre quelconque d’actions ; on peut traiter le cas d’un panier d’actions, lorsque construit un modèle en temps continu (en faisant tendre N vers \infty) on trouve que le risque crée par d’actifs risqués peut être complètement couvert par un portefeuille contenant d dimensions.

L’approche Equilibre Le prix est réel lorsqu’il y a un contrat entre un acheteur et un vendeur, qui s’accordent sur ce prix. Le prix décrit l’espérance de rendement anticipé.

Je dois citer ici Louis Bachelier, mathématicien français qui dans sa thèse (1900) a décrit en partie ces modèles : "L’espérance mathématique du spéculateur est nulle".

L’espérance mathématique désigne ici le gain espéré, sous la probabilité équilibrée, de l’acheteur (ou du vendeur).

Que signifie la phrase de Louis Bachelier ? Le spéculateur (ici sans nuance trop péjorative) désigne un agent financier qui fait une anticipation à propos du marché des actions. S’il anticipe à la hausse, il demande l’achat ; si un autre agent accepte le prix et vend c’est que lui anticipe la baisse. Effectivement si tous les agents anticipaient la hausse personne ne vendrait.

On peut se dire que l’un a raison et l’autre a tort (et c’est ce qui sera plus tard vrai) ; mais on peut dire aussi qu’ils ont tous les deux raison en l’état actuel des informations : leurs espérances de gain s’équilibrent donc elles sont les deux nulles. "L’espérance mathématique du spéculateur est nulle" sous la probabilité P*.

Si on cherche à définir le prix d’un objet il faut que les anticipations des deux personnes qui échangent cet objet à ce prix soient opposées et s’équilibrent. On peut alors parler de la probabilité risque neutre comme d’une probabilité équilibrée.

Cette description fait le lien entre une description microstructurelle dans laquelle nous n’avions pas supposé un équilibre ; la probabilité permettait le calcul qui annulait le risque donc les agents ne pouvaient qu’être d’accord, et la description à partir de l’équilibre ; donc une description économique. Ce lien ne permet quand même pas d’obtenir des équations "exactes" partant des équations d’équilibre.

F. Zapatero (98) donne un résultat d’équilibre lorsque les agents ont des anticipations différentes.

Pour les descriptions à partir de l’équilibre voir (J.C. Cox, J.E. Ingerson, S.A. Ross) ou (D. Heath, R. Jarrow, A. Morton) pour l’étude des taux.

3 Marché avec agent informé

On suppose maintenant que l’un des agents financiers a une information privée supplémentaire ; par exemple il connaît le prix au temps T d’une action ou bien (c’est plus réaliste) il sait que le prix sera dans un intervalle [a,b], évidemment la valeur de l’information est liée à la longueur de l’intervalle.

Plusieurs questions se posent clairement ; pourra-t-on définir sur ce marché une probabilité neutre au risque, ou plusieurs ? Sans doute pas jusqu’en T mais peut- être jusqu’à un instant A avant T.

Le marché avec agent initié sera-t-il complet si celui sans agent initié l’est ?

Si on peut définir un prix, sera-t-il différent ?

Peut-on définir une valeur de l’information privée ?

Peut-on détecter l’individu informé en observant sa stratégie ou sa richesse (ou sa consommation) ?

Peut-on caractériser l’information privée en observant la gestion d’un agent informé ?

Nous abordons ces problèmes d’information privée dans le cadre de l’arbitrage, Black-Scholes, en supposant que l’agent est un petit investisseur c’est-à-dire qu’il n’influence pas le marché par son action. C’est évidemment peu réaliste, nous y reviendrons.

Une autre approche (A.S. Kyle, K. Back, J-C. Rochet, M. O’Hara) étudie l’évolution des prix lorsque l’information est révélée par l’action de l’agent. Les agents n’ayant pas cette information se "rendent compte de quelque chose" et agissent en conséquence ; l’information privée se diffuse ainsi à travers les modifications des prix et finit, à l’équilibre, par devenir "publique".

3.1 Probabilité neutre au risque

On peut trouver une hypothèse simple pour que une probabilité neutre au risque existe jusqu’à un temps A < T dans un modèle avec agent informé (il faut se rappeler que l’information privée a lieu entre 0 et T). Rapidement dit, il faut que l’information privée ne soit pas certaine avant A ; plus précisément la loi conditionnelle de L sachant F_t doit être équivalente à la loi de L pour tout t\le A. Les prix sont-il différents ? Lorsque l’échéance est A, les prix proposés, pour un objectif ne contenant pas l’information privée, par l’agent informé et par l’agent non-informé sont les mêmes ; par contre si l’objectif contient l’information privée I alors on ne peut définir de prix juste car l’objectif n’est pas forcément atteignable par l’agent non-informé. C’est somme toute assez logique ; l’information de l’agent non initié suffit pour couvrir le risque associé à un objectif atteignable donc l’information de l’agent initié ne lui sert pas ; par contre, cette information lui sert pour atteindre un objectif inatteignable pour l’agent non informé et il ne peut y avoir de prix équilibré pour cet actif (entre un agent informé et un agent non informé).

On a donc répondu à la deuxième question, on peut donner une hypothèse permettant 1’AOA dans un modèle avec asymétrie d’information. L’existence d’une probabilité neutre au risque permet de définir la valeur de l’information privée ; en présence d’arbitrage cette valeur serait infinie.

3.2 Valeur de l’information

On peut donner plusieurs définitions de la valeur d’un information ; une est par exemple le prix que je suis prêt à payer au maximum pour l’obtenir (avant les autres) ; cela peut donner des résultats intéressants qui ont été développés récemment (D. Becherer, M. Schweizer).

Nous la définirons autrement comme la différence de richesse maximale obtenue avec l’information et sans l’information. Le contexte est un peu différent de celui de la section précédente ; l’agent financier ne cherche plus à atteindre un objectif (se couvrir), maintenant il a une richesse initiale x, au temps t = 0 et il cherche une gestion optimale de son portefeuille, optimale au sens où il désire avoir au temps A (de fin de gestion) la richesse maximum dans son portefeuille.

La valeur de l’information se mesure alors par la différence entre les richesses finales obtenues avec et sans l’information.

Le calcul d’optimisation est basé sur la notion de fonction d’utilité U\ :\ R^+\rightarrow R, strictement croissante, concave, de classe C^2, telle que lim_{x\rightarrow 0}U^\prime(x)=-\infty, lim_{x\rightarrow\infty}U^\prime(x)=0. L’utilité représente l’aversion au risque de l’agent ; plus précisément, plus U est concave, plus l’agent est averse au risque. Losque U est linéaire, l’agent est neutre au risque.

On peut calculer explicitement le processus de richesse optimale lorsque U=\ln :

X_t=\frac{X_0}{A}\exp\left(\int_0^t(\theta_s+\ell_s)dW_s+\frac{1}{2}\int_0^t\|\theta_s+\ell_s\|^2ds\right)

Dans l’exemple où l’agent informé sait que le prix d’une action sera au temps T dans un intervalle [a,b], on sent bien que la valeur de l’information sera inversement proportionnelle à la longueur b-a. On peut calculer l’expression de l :

\ell_t^{j,L}=\frac{(1-2L)\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}(t,k_t^b)-\frac{\partial\psi}{\partial x}(t,k_t^a)\right)\sigma_t^{ij}}
{\left(\psi(t,k_t^b)-\psi(t,k_t^a)\right)^L\left(1-\psi(t,k_t^b)+\psi(t,k_t^a)\right)^{1-L}}

k_t^b dépend des coefficients et \psi est la fonction de répartition d’une gaussienne centrée.

D’une manière générale la valeur est d’autant plus grande que la probabilité de réalisation de l’information est faible. Cette valeur peut tendre vers l’infini si cette probabilité est nulle (par exemple si l’agent informé connaît le prix exact d’une action au temps T).

Les graphiques suivants représentent des simulations de processus de richesse optimale de l’agent initié (trait continu) comparé à celui (trait pointillé) de l’agent non initié. C’est une analyse en trajectoire et non en probabilité. La durée de gestion est de 0,98 année.

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Le modèle des prix est Log-normal en temps continu (Black-Scholes), la dimension du risque est 4 comme celle du portefeuille :

dS_t^i = S_t^ib^idt + S_t^i\sum_{j=1}^4\sigma_j^idW_t^j

Les coefficients b, la tendance long terme et la volatilité \sigma sont constants

b=\left(\begin{array}{c}
0.1 \\
0.095 \\
0.09 \\
0.08 \end{array}\right)

\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
0.15 & 0.05 & 0.06 & 0.02 \\
0.02 & 0.12 & 0.03 & 0.04 \\
0.05 & 0.04 & 0.1   &  0.04 \\
0.02 & 0.03 & 0.05 & 0.09
 \end{array}\right)

Le taux de caisse d’épargne est 0.03 ; l’agent initié sait que dans T = 1 an, le prix de l’action S_T^2 =1 sera dans l’intervalle [0.9,1.2] alors que S_0^2 =1. Le temps terminal de la stratégie est A = 0.98. L’information est de qualité moyenne car l’intervalle [0.9,1.2] est assez grand.

On peut aussi expliciter les portefeuilles de gestion optimale (permettant d’obtenir la richesse optimale) pour l’agent informé et pour l’agent non-informé. Ce qui est remarquable c’est que les deux portefeuilles diffèrent (en proportion) seulement dans la dimension sur laquelle l’agent a une information (la deuxième dans l’exemple) ; bien qu’il y ait de la corrélation entre les différents actifs (car la matrice \sigma n’est pas diagonale) l’agent informé ayant une utilité logarithmique n’utilise pas cette corrélation.

3.3 Détection de l’agent informé

Il faut dire tout de suite que la justice n’a pas attendu ces modèles pour chercher à détecter les initiés ; ces modèles sont beaucoup plus intéressants pour la recherche en mathématique financière que pour la COB !

On peut, dans le modèle présenté détecter l’agent informé par sa stratégie car celle-ci s’écarte significativement de la gestion de l’agent non-informé (en supposant que l’agent informé cherche à exploiter son information de manière optimale). En somme s’il ne se cache pas on le repère. I1 est intéressant de remarquer qu’on peut le repérer alors que l’information privée est loin d’être rendue publique.

Mais s’il se cache, il ne pourra pas exploiter son information au mieux. Une voie de recherche intéressante serait d’étudier plus précisément les stratégies d’un agent initié qui se contraint à ne pas exploiter au maximum son information de manière ne pas être repéré.

Bien sûr dans ces modèles, la détection se fait par une alarme qui indique que la stratégie de l’agent observé n’est pas conforme à celle d’un agent notoirement non- informé ; on ne peut pas prouver le délit d’initié.

On commence à s’intéresser au problème de la reconnaissance de l’information sachant que l’agent observé est informé. Cette reconnaissance est possible dans des cas simples (trop simples !). Mais c’est un sujet de recherche qui paraît passionnant.

Certaines recherches dans ce domaine sont sans doute secrètes ; je ne parle ici que de quelques méthodes que je connais et qui sont publiques !

3.4 Modèle du parieur

Les mouvements spéculatifs peuvent être aussi étudiés sans intervention d’un agent informé ; on met en présence deux agents financiers qui font des anticipations différentes (des paris différents) sur le futur d’un actif et qui gèrent en tenant compte de ces anticipations. I1 s’agir ici de stratégies risquées dont on cherche à évaluer le risque. On peut montrer que les anticipations différentes peuvent néanmoins aboutir à un équilibre (et donc à un prix) mais celui-ci pourra être différent du prix "juste" d’arbitrage ; on trouve en utilisant les résultats de F. Zapatero.

4 Extensions

4.1 L’agent informé influence les prix

On commence à développer des modèles dans lesquels l’agent informé influence les prix. On peut montrer que dans certains modèles l’agent informé peut se cacher sous un "bruit de fond" créé par la gestion des agents non-informés (K-H. Cho, C-T. Wu). Cela peut expliquer certains mouvements étonnants sur les prix.

Les modèles dans lesquels l’agent informé influence les prix sont évidemment plus réalistes et pourraient permettre d’étudier certains mouvements spéculatifs ; mais la recherche ici en est à ses débuts.

5 Conclusion et discussion

Je n’ai décrit qu’une infime partie des modèles utilisés pour faire de la finance. On se servait depuis plus longtemps des séries chronologiques ; les modèles les plus en vogue là sont les GARCH (par ex. C. Gourieroux). On a modélisé les mouvements par des browniens fractionnaires (L. Decreusefond, ou par des fractals (O. Mandelbrojt).

Il est aussi important de modéliser correctement la structure par terme des taux d’intérêts ; Rama Cont se sert d’EDPS pour arriver à calibrer les mouvements des taux.

Modèle et finance

Une remarque s’impose ; depuis que des modèles mathématiques ont permis d’évaluer des risques financiers et de définir des stratégies pour se couvrir contre ces risques les investisseurs ont moins peur et mettent plus d’argent dans le système financier ; ce qui a pour effet d’augmenter les investissements boursiers et donc de diminuer les investissements productifs. La bourse tourne parce qu’on y investit (comme le ferait tout autre entreprise). Donc l’existence des modèles mathématiques de la finance a une influence évidente sur la bourse.

Mais si les agents utilisent les mêmes modèles mathématiques pour calculer des prix d’options et échangent à ces prix ; les modèles ont-ils créé un équilibre ? L’utilisation de modèles stabilise-t-elle le marché ? Et le krach de 1987 ?

La ressemblance avec les interrogations des physiciens théoriciens à propos du nucléaire est nette. Les mathématiciens ne sont pas seulement dans la vérité de leurs démonstrations, leurs modélisations sont utilisées immédiatement pour définir les prix de nouveaux produits financiers proposés aux clients des banques.

Quelle est l’influence de l’utilisation des modèles mathématiques ? Si ces modèles décrivent de mieux en mieux les comportements des agents qui en retour utilisent ces modèles ; le marché en sera-t-il plus stable ou plus instable ? En résultera-t-il une dynamique simple ou chaotique ?

Un des dangers est justement le développement de laboratoires de recherche de haut niveau au sein des organismes financiers pour lesquels la publication des résultats est contradictoire avec la concurrence entre banques.

C’est aussi un problème pour le recrutement de thésards en mathématiques financières, ils sont embauchés avant leur thèse dans des banques. Le différentiel de salaires entre les recherches publiques et privées risque de vider en France les laboratoires publics.

Ces problèmes ont déjà existé et ont été résolus dans d’autres domaines de recherche. Interdire ou limiter la recherche risque de développer des recherches privées et secrètes beaucoup plus dangereuses. La publication des résultats est une garantie pour tous.

Finance et éthique

On ressent une contradiction entre profit et éthique, la finance semble être le lieu d’exagération du profit. Pourtant les expériences de micro-crédit ont apporté de la richesse tout en restant dans un cadre financier rentable. De même, on craint que la taxe Tobin ne crée un arbitrage entre places boursières mais la police de New-York a été en partie financée par une taxe sur les transactions à Wall-street.

Développer les investissements solidaires est une voie possible, mais il faut se rappeler que des mutuelles investissent dans des produits financiers non productifs et non solidaires. Doit-on au nom de l’éthique ne pas utiliser les rendements de produits attractifs ? Les sociétaires des mutuelles, les clients-consommateurs ont-ils le pouvoir d’obliger les entreprises à respecter les codes du travail dans les différents pays et à oeuvrer pour les développements durables ?

On commence à étudier des modèles économiques dans lesquels la satisfaction est liée à des investissements productifs ou à des standards sociaux ; la difficulté est la coexistence de systèmes financiers dont les valeurs (bases de calcul) sont différentes ; il y a alors des possibilités d’arbitrage si les libertés de mouvements de capitaux sont trop grandes (les banques islamiques ont des contraintes sociales et sont utilisées par des banques privées). Les produits financiers sont par construction extrêmement mobiles et utilisent les réseaux informatiques et la toile (web) pour être échangés. Il devient difficile et donc nécessaire de limiter les mouvements.

Peut-être est-ce la différence ahurissante entre les richesses ici et là qui crée les vraies difficultés. Une trop grande disparité des richesses crée de l’incertitude et n’est pas propice à une éthique acceptable par tous. Est-ce aussi une condition expérimentale favorisant l’émergence d’idées morales ?

Risque et éthique

Plutôt que finance et éthique on devrait peut-être s’interroger sur les liens entre le risque et l’éthique. Qui prend les risques, qui les gère, qui les subit ? Doit-on laisser la possibilité à une personne de prendre des risques qui dépassent ses capacités d’analyse ou de remboursement ? Comment évaluer les risques financiers, économiques, écologiques, sociaux ?

Les méthodes d’évaluation sont l’objet de recherches intensives (méthode des copules ..) ; plusieurs laboratoires de recherches dans les banques et les universités essaient de recenser toutes les méthodes pouvant être efficaces. Le but n’est pas tant de gagner à coup sûr mais de perdre le moins possible.

L’analyse des risques écologiques (au sens le plus général) peut, par l’approche mondiale qui la constitue être capable d’appréhender l’ensemble des risques ; mais l’évaluation de ces risques est encore difficile (ou peu précise) ; il manque encore des modèles mathématiques fiables permettant de couvrir ces risques en tenant compte de la dynamique des phénomènes et surtout du caractère humain des agents agissant sur ces risques ou les prenant et des agents les subissant. C’est donc un domaine de recherche très attirant.

6 Bibliographie

- J. AMENDIGER, D.BECHERER and M. SCHWEIZER, "Quantifying the Value of initial Investment Information", Preprint 2000.
- L. BACHELIER, "Théorie de la spéculation", Thèse d’état, Paris, 1900.
- K. BACK, "Insider trading in continuous time", Rev. Financial Studies, 5(3), 1992, pp 387-409.
- B. BIAIS, J-C. ROCHET, "Risk sharing, adverse selection and market structure". Proceedings CIME Conference, Bressanone, Springer 1996.
- F. BLACK, M. SCHOLES, "The pricing of options and corporate liabilities", J. Political Economic., 81 (1973), p 637-654.
- K-H. CHO, "Equilibre avec asymétrie d’information", Thèse de Doctorat, Université de Paris VI, 1997.
- D. CUOCO, J. CVITANIC, "Optimal consumption choices for a large investor", J. of Econom. Dynam. \& Control, 22 3 (1998), 401-436.
- F. DELBAEN and W. SCHACHERMAYER, "A general version of the fundamental theorem of asset pricing", Math. Ann. 300, 463-520, 1994.
- H. FOELLMER, C-T. WU, M. YOR, "Canonical-decomposition of linear transformations of two independant Brownian motion". preprint 1999.
- A.S.KYLE, "Continuous actions and insider trading" Econometrica 53, 1985, pp 1315-1335.
- R.C. MERTON, "Theory of rational option pricing", Bell J. Econom. Manag. Sci. 4, (1973), 141-183.

Discussion à propos de l’exposé d’Axel Grorud lors du séminaire du 5 mars 2001

En réponse à une question portant sur les mathématiciens employés dans le secteur financier, Axel Grorud rappelle que désormais de plus en plus de mathématiciens vont travailler dans les banques avec un DEA et à des niveaux de salaires très supérieurs à ceux de l’enseignement ou de la recherche publique. Très souvent leurs recherches ne sont pas publiées.

D’autres remarques portent sur les informations disponibles, un agent peut être informé en cours de route sans qu’il puisse incorporer l’information dans le modèle. D’autres questions portent sur le crack de 1987 qui a eu peu d’effet sur l’économie mais a surpris par son ampleur. Faut-il l’intégrer dans les modèles ? Axel Grorud rappelle que certains mathématiciens essaient de calibrer les modèles pour l’intégrer.

Un intervenant fait remarquer que le modèle financier construit par un mathématicien est une information pour l’agent. Si l’agent n’en tient pas compte, il prend des risques. Axel Grorud rappelle que les modèles des autres sont également des informations, c’est d’ailleurs la raison pour laquelle ils ne sont pas toujours diffusés. En définitive les modèles, lorsqu’ils sont connus, modifient les comportements des acteurs, mais ils servent à faire des approches.

D’autres questions portent sur la qualité et la quantité d’informations disponibles et la manière dont les modèles en tiennent compte. A propos du comportement rationnel des agents, supposé rationnel selon le paradigme classique, un intervenant fait remarquer que des ethnographes ont observé la Bourse avec leur propre méthode.